极坐标下的开普勒三定律.ppt

作者：史学琛 当我们学习极坐标时就发现它有 很多奇妙之处，比如科里奥利加速度。 当然用极坐标解决物理问题更重要的 是它的便捷之处，下面我来叙述怎样 用极坐标就导出行星运动的三大规律。 极坐标知识复习： 其中： 位置： 速度： 加速度： 开普勒三定律： 1、每个行星都在椭圆轨道上运动，太阳在椭圆的一个焦点上。 2、由太阳到行星的矢径，在相等的时间内扫过的面积相等。 3、行星绕太阳的公转周期，由关系式： 和椭圆的半长轴a相联系，式中的k对于所有的行星都相同。 由万有引力定律： ，以及牛二： 得到： 即： ① ② 选定太阳(质量M)为极坐标系原点，行星位置为 解： ① ② 由②： 即 亦即 则 即 故 这就是说，在很小(dt)的时间段内，矢径扫过的面积dS是一个常数，对上式积分就有： ，即矢径在相等的时间内扫过的面积相等(开普勒第二定律)。 进一步发现， ③式等价于 等式再乘以行星质量，就是角动量守恒 因此 ③ ③ ① ② 将③代入①： 解该微分方程的方法之一，是把上式两边都乘以dr。 即 就有 这里的C是积分常数，与给定的初始值有关，我们在最后再考虑它。 ③ 开方就有 ④ 再由③，即是 以上两式相除，消去dt，得到 分离变量得 查表得到它的积分 整理得到 令 于是 这就是说，行星运动的轨迹是条圆锥曲线。当0e1时，这条轨迹将闭合，天体会被太阳束缚。也就是说每个行星都在椭圆轨道上运动，太阳在椭圆的一个焦点上(开普勒第一定律)。 ③ ④ 到这里，导出周期与极径或角度的关系有多种方法，比如将椭圆轨迹方程带入③，来求出角度与时间的积分方程，再转化成周期与极径的关系；还可以将④式整理直接积分，得到时间与极径的关系，再转化成周期与极径的关系。这里采用另一种更简单的方法。 由开普勒第二定律得到 于是就有 又由椭圆面积公式 代入得到 ③ ④ 根据椭圆的性质 因此 故 再代入 就有 这也就是说，行星公转周期的二次方与轨迹半长轴的三次方成正比，比例系数k只与太阳质量有关，因而对于所有行星k相同(开普勒第三定律)。 ③ ④ ③ ④ 积分常数是由初始条件决定的。为简化运算，不妨设t=0时刻行星位于长轴距太阳较近的顶点上，距太阳距离为r0 ，并且设此时由太阳到行星的方向为极坐标系正方向；设初速度为v0 ，方向垂直于矢径；t=0时刻的角度θ=0。 Sun ③ ④ 由方程③知 故积分常数J满足 初始时刻，由 则 故取 t=0时刻θ=0，亦即 故由④得 以上三式便是在特定情况下的积分常数。 以上运用极坐标系的公式推导了开普勒行星运动的三大定律。事实上，证明过程中也推导出了角动量守恒公式和机械能守恒公式。这些足以看出极坐标系的奇妙与简洁之处，运用极坐标系解决物理问题不失为一种好的方法。 * * * *