概率论与数理统计第三章-1数学期望.ppt

* * * 那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得E[g(X)]呢？ 下面的定理指出，答案是肯定的. 使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的 . (1) 当X为离散型时,它的分布率为P(X= xk)=pk ; (2) 当X为连续型时,它的密度函数为f(x).若 定理 设Y是随机变量X的函数:Y=g (X) (g是连续函数) 该公式的重要性在于: 当我们求E[g(X)]时, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便. 上述定理还可以推广到两个或两个以上随 机变量的函数的情况。 X 1 3 P 3/4 1/4 Y 0 1 2 3 P 1/8 3/8 3/8 1/8 X 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8 Y 0 1 2 3 例12 解 例13 解 例14 某报摊经营某种晚报，每出售一份可获利a分钱，没剩余一份则亏损b分钱，假定每天在此摊销量X服从参数为λ的泊松分布，问一天应准备多少份报纸最合适？ 解 设需要n份，则此时的利润Q为X的函数， 例15 例16 在[0,1]内独立地任取两点，求它们之间距离的数学期望。 解： 1 1 0 四、数学期望的性质 1. 设C是常数，则E(C)=C; 4. 设X、Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y); 2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X); 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y); （诸Xi相互独立时） 请注意: 由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y 独立 所以，性质3成立。 所以，性质4成立。 五、数学期望性质的应用 例17 求二项分布的数学期望 若 X ~ B(n, p)， 则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数. 现在我们来求X的数学期望 . 可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是 n p. X~B(n,p), 若设 则 X= X1+X2+…+Xn = np i=1,2，…，n 因为 P(Xi =1)= p, P(Xi =0)= 1-p 所以 E(X)= 则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数. E(Xi)= = p 例18 把数字1,2,…,n任意地排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称为一个巧合，求巧合个数的数学期望. 由于 E(Xk)=P(Xk =1) 解: 设巧合个数为X, k=1,2, …,n 则 故 引入 六、课堂练习 设随机变量X的概率密度为 解 Y是随机变量X的函数, 七、小结 这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征. 接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变量另一个重要的数字特征： 方差 八、作业 《概率统计》练习册 * * * * * * * 概率论 概率论 §4.1 数学期望 离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 分布函数能够完整地描述随机变量的统计特 性.在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 但在一些实际应用中，人们并不需要知道随机 变量的一切概率性质，只需知道随机变量的某些 特征. 研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的 平均粒数及每粒的平均重量； 检验钢筋的质量时,抗拉强度是一个重要指标，既要注意平均抗拉强度，又要注意 与平均抗拉强度的偏离程度,平均抗拉强度越强、偏离程度越小，质量就越好; 考察一射手的水平，既要看他的平均环数 是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数 据的波动是否小. 由上面例子看到，与随机变量有关的某些 数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰 地描述随机变量在某些方面的重要特征 , 这些 数字特征在理论和实践上都具有重要意义. 随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的 . 在这些数字特征中，最常用的是 数学期望、方差、协方差和相关系数 一、离散型随机变量的数学期望 1、概念的引入： 我们来看一个引例. 例1