[其它]第五章 群.ppt

5.1 群的定义 在形式语言和有限自动机的理论中常用到自由半群: 有了如上字、句子、语言的定义, 可进一步结合半群的理论深入讨论各种文法结构以及形式语言描述. 事实上, 我们所熟悉的各种计算机语言, 都可以看作在不同的文法结构下的形式语言在计算机上的实现. 练习 设G为群，求证：a,b∈G，有 （a-1）-1=a (ab) -1=b-1a-1 5.2 群的定义 有限群、无限群 Finite/ Infinite Group G={1,-1,i,-i}, (G,*),元素个数有限；(R-{0},?), (Z,+),(R,+) 元素个数无限 设(G,*)为群,当|G|=+?时称该群为无限群;当|G|=n+?时，称为有限群,且说群G的阶为n |G|为G中元素的个数，叫G的阶 G={1,-1,i,-i}, 群(G,*)是4阶群 5.1 群的定义 元素的阶 定义5-18 与群的阶不同 a∈G,若存在正整数n使an =e,则称a是有限阶元素，最小的n叫做a的阶,记为|a| 元素阶的基本性质 若|a|=n，则am=e当且仅当m是n的倍数 |a|=|a?1| 若|a|=n，则对任意的m∈Z，|am|=n/(n,m) |a|||G| 作业:100页第11,14题 例5-17 ,18 群Z，+中 30=0，31=3，32=6，35=15， 3-5=(3-1)5=-15 在Z6,+中，2和4时3阶元，3是2阶元，1和5是6阶元，0是1阶元 Z,+中，0是1阶元，其余都是无限阶元 练习 设G是群，a, b∈G且ab = ba，|a|与|b|互质，则|ab| = |a||b| 分析：在原根中有一条定理 ⑨ (ab,m)=1,(ordm(a),ordm(b))=1则ordm(ab)=ordm(a)ordm(b) 解：若k=|a|,t=|b|,s=|ab| 所以ak=bt=e，ats=ats*bts=(ab)ts=e，所以k|ts 因为(k,t)=1,所以k|s 同理，t|s 所以s=tk 5.1 群的定义 子群 subgroup 定义5-19 若(G,*)为群，A为G的子集合，1∈A,(A,*)构成群，则(A,*)为(G,*)的子群，记为(A,*)≤(G,*) 如A={0,13},则（A,⊕26）≤（Z26,⊕26） 子群是子代数的实例 若A为真子集，则记为(A,*)(G,*) A={e}以及G自己是G的两个平凡子群 其他子群都称为非平凡子群 练习 给定集合Z12={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}，定义运算 ：x y≡(x + y) mod 12， 判断下面的集合Si, 是否是(Z12, )的子群 (1) S1 = {0, 2, 4, 6, 8, 10} (2) S2 = {1, 3, 5, 7, 9, 11} (3) S3 = {0, 3, 6, 9} (4) S4 = {0, 5, 10} 5.1 群的定义 子群判定定理 5-11 若对任意的a,b∈G，a,b∈H,则ab-1∈H，则H≤G 如果A是G的有限非空子集合, (A,*)封闭则(A,*)≤(G,*) 如果A无限,则结论不能成立. 例如,I,+是群,N对+封闭,但N,+不是子群,因为自然数在加法下没有逆元. 因为任一自然数形成的加法幂序列中没有相同元. 如：对于整数加群(Z, +)，对于任意的k，定义kZ={kz|z∈Z}, kZ是Z的子群，而且与Z同构 作业:100页第15,17题 5.1 群的定义 循环群 cyclic group 定义5-25 若G中的每个元素都能表示成一个元素a的幂，则称G为由a成生的循环群，记作G=a,a称为循环群G的生成元(generator) 可以认为，这里所说a的幂包含a的“负幂”,即a-1的幂,a-n=(a-1)n。 a=a-1 如（Z,+）=1=-1 循环群总是交换群，它可能是无限群或有限群 群G中一个元a≠e,则a生成G的一个循环子群a 阶是素数的群一定是循环群 5.1 群的定义 循环群 cyclic group 循环群的生成元未必唯一。例如(Z7 ,*） =3=5, (Z,+)=1=-1 ,(Z8 ,+）=1= 3=5=7 假设(Z,+)=a，则存在ka=1（k个a相加）, 所以a=k=1或者a=k=-1(相当于a-1) 提示：与原根、阶联系 练习 在一个群G里，若 a*a-1=a2=e 若a=e,阶1 若不等，阶2 5.1 群的定义 循环群 cyclic group 另外： （1）|a|=∞ = a≌（Z，+） （2）|a|=n = a≌(Zn,+) （3）对于无限循环群a,则仅有两个生成元