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课题12 解三角形 知识梳理 正弦定理 运用正弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题： ⑴已知 ，求其他两边和一角； ⑵已知 ，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）. 余弦定理 运用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题： ⑴已知 ，求三个角； ⑵已知 ，求第三边和其他两个角. 正弦定理和余弦定理结合起来，能够很好地解斜三角形问题，要会运用两个定理转化三角形中的一些边角关系，注意定理的变式以及合理选用公式. 解三角形问题的实质就是由正弦定理与余弦定理联立得到方程组，由方程的思想求解未知的边角. 基础训练 1、在中，若，则的大小是 . 2、中，，，其面积为，则等于 . 3、(2009南京二调改编)在中，，且，则的形状为 三角形. 4、已知三角形两边的长分别为，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为 . 典型例题 例1 在中，已知，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，求边AB的长. 例2 在中，分别为角A，B，C的对边，，CM是外接圆的直径，BM=11，AM=2，求CM的长. 变式拓展 （2009佛山质量检测二改编）已知园内接四边形ABCD的边长为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积. 例3 在不等边中，为最大边，如果，求A的取值范围. 变式拓展 在中，，求的最大值. 例4 （2009全国卷Ⅰ理）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面ABC上的射影为BC的中点，求异面直线AB与所成角的余弦值. 变式拓展 在平面直角坐标系中，已知的顶点A（-4,0）和C（4,0），顶点B在椭圆上，则 . 作业（12） 1．在中，，，，则的面积是2．在中，若，则的值为3．在中，若，则这个三角形中角的值是4．在中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是 A．，，　　　　B．，，　 C．，，　　　　 　D．，，　 5．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程的根，则第三边长是6．在中，如果，那么角等于7．在中，若，，此三角形面积，则的值是 8．在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为 9．如果满足，，的△ABC恰有一个，那么的取值范围是 10．在中，若，则最大角的余弦值等于________________11．在中，，，，则此三角形的最大边的长为______12．△ABC中，，则的最大值是_______________ 13.在ΔABC中,求分别满足下列条件的三角形形状： ①B=60°,b2=ac； ②b2tanA=a2tanB； ③sinC=④ (a2－b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A－B). 14.已知ΔABC三个内角A、B、C满足A+C=2B, + =－ , 求的值. 15.在中，是方程的两个根，且, 求（1）角的度数；（2）的长度；（3）的面积 16. 如图，货轮在海上以35n mile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152o的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为122o．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为32o．求此时货轮与灯塔之间的距离． ， . 由a=c及B=60°可知△ABC为等边三角形. ②由 ∴A=B或A+B=90°，∴△ABC为等腰△或Rt△. ③，由正弦定理：再由余弦定理： . ④由条件变形为 . ∴△ABC是等腰△或Rt△. 点评：这类判定三角形形状的问题的一般解法是：由正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简考察边或角的关系，从而确定三角形的形状. 有时一个条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以混用. 如本例的②④也可用余弦定理，请同学们试试看. （14）分析：再代入三角式解得A或C. 解：. ∴由已知条件化为： 设.代入上式得： .化简整理得 . 注：本题有多种解法. 即可以从上式中消去B、C求出cosA，也可以象本例的解法.还可以用和、差化积的公式，同学们可以试一试. A C B 北 北 152o 32 o 122o