[理学]空间解析几何线性代数 9.ppt

* * 一、引例 某城市交通管理部门为了制定四条单行道交通流量控制方案， 给出如下的每天交通高峰时路段交通流量图． 300 300 300 100 100 500 600 400 A B C D x1 x2 x3 x4 图2.1 第一节 线性方程组及高斯消元法 其中每一路段的车流量数（单位：辆/小时）及其方向 分别用一个数及箭头表示, 四个路段的待定车流量数 ， 表示所考虑的 表示四个十字路口． 为了使四个路口不发生车辆拥堵现象，必须保持每个路 口进出的车辆数平衡．于是我们可以得到线性方程组 这就是上述交通流量问题的数学表达式． 除了交通流量问题,还有不少实际问题可以用线性方程组描 述其数量关系，如电流回路分析以及投入产出经济模型等． 二、线性方程组 根据第一章的讨论，线性方程组 (2.1) 可以写成 其中系数矩阵 常数列 未知量列 增广矩阵 (2.2) 如果 中至少有一个不为零，那么(2.1)称为非齐次 线性方程组； 满足方程组(2.1)的 元有序数组 称为方程组（2.1）的一个解． 方程组（2.1）的所有解组成的集合称为方程组（2.1）的解集． 方程组（2.1）的解集可能是空集，此时方程组（2.1）无解． 如果方程组有解，那么称它是相容的；如果方程组无解，那么 称它不相容．如果两个方程组有相同的解集，那么称它们是等 价的方程组． 例如, 设有方程组 (1) , (2) , (3) . 否则那么(2.1)称为齐次线性方程组． 容易验证，方程组（1）与（2）有解，从而它们是相容的； 方程组（3）无解，从而它是不相容的．虽然方程组（1） 与（2）都有解，但是它们的解的个数不一样：方程组 （1）有唯一的解 而方程组（2）有无穷多解 其中 为任意数． 也可以验证方程组 与方程组（1）有相同的解集，即它们是等价的方程组． 二、高斯消元法 对于一般的线性方程组，所要讨论的问题是：线性方程组 相容的条件；当线性方程组相容时，研究解的性质并且给出求 解的方法．我们先从一些例子来说明用消元法求解线性方程组 的一般过程． 例1 解线性方程组 解 第一步 使第一个方程中 的系数为1． 与第四个方程的位置， 交换第一个方程 可得 第二步 把第一个方程以下的各方程中的 消去．第二个方程 减去第一个方程 , 第三个方程减去第一个方程 ，第四个方程减去第二个方程的２倍，可得 　 第三步 使第二方程中的系数为1．第二个方程加上第三方程后再乘以（－1），可得 　 　　 第四步 把第二个方程以下的方程中的 都消去．第三 个方程加上第二个方程的4倍，第四个方程减去第二个方程 的3倍， 　　 第五步 把第三个方程以下的方程中的 消去．第四 个方程加上第三个方程，可得