[理学]第13章 晶格振动.ppt

第13章 晶格振动 13.1 一维单原子晶格振动 13.2 一维双原子晶格振动 13.3 周期边界条件与格波数 13.4 晶格振动的量子化和声子 13.5 晶格比热 晶格振动.一维双原子晶格的振动.色散关系.声学支 一维双原子晶格的振动.色散关系.声学支之长波极限 一维双原子晶格的振动.色散关系.声学支之短波极限 一维双原子晶格的振动.色散关系.声学支之一般情况 一维双原子晶格的振动.色散关系.光学支 一维双原子晶格的振动.色散关系.光学支.长波极限 一维双原子晶格的振动.色散关系.光学支.短波极限 晶格振动.一维双原子晶格的振动.色散关系.光学支.一般情况 晶格振动的量子化与声子.一维单原子的振动一般解讨论 晶格振动的量子化与声子.一维单原子的振动一般解讨论 晶格振动的量子化与声子.一维单原子的振动一般解讨论2 晶格振动的量子化与声子.晶格振动总能量 晶格振动.晶格振动的量子化与声子.晶格振动总能量2 晶格振动.晶格振动的量子化与声子.声子 晶格比热.德拜模型 晶格比热.德拜模型2 条件：0|q|π/2a ；cos(qa)0 光学波相邻原子的振幅是反向的，即相邻原子沿相反方向振动 13.3 周期边界条件与格波数 玻恩-卡门条件 前面讨论的是一维无限长的原子链，现在讨论有N个原子的有限长链 1 2 3 N N-1 …. …. 1 2 3 …. …. N-1 N 基本假设：有N个原子的有限长链中，可首尾相接，并将第1个原子看成是第N+1个原子，这样就可以用之前讨论的结果来描述有限长的原子链模型 N+1 13.3 周期边界条件与格波数 1 2 3 N N-1 …. …. N+1 qNa=2?S S为整数 讨论第一布区 结论：S在有限的范围内取整数，所以波矢q的值是有限并离散的。与无限长原子链波矢连续形成对比 13.3 周期边界条件与格波数 1 2 3 N N-1 …. …. N+1 结论：一维下N个原子的晶体在第一布区有N个独立的振动波矢 N为原子个数 N=1 qNa=2?S S=0 q=2?S /(Na) 一维布拉菲格子 q=0 N=2 S=0，1 N=3 S=-1，0，1 … 13.3 周期边界条件与格波数 1 2 3 N N-1 …. …. N+1 结论延伸至三维 几个重要的概念和结论 1、晶体中原胞个数：N 2、每个原胞的原子数：n 3、原子自由度→ 原子的空间维数：k 4、原胞自由度总数：n?k 5、晶体中原子的自由度总数：N?n?k I.格波支数→ 晶体中光学波和声学波的支数之和：n?k II.每支格波的格波数→ 每支格波包含的波矢个数：N II.晶体总格波数： N?n?k k支频率最低的格波为声学波，其余为光学波 13.3 周期边界条件与格波数 1 2 3 N N-1 …. …. N+1 结论延伸至三维 一维布拉菲格子 举例说明（以下晶体原胞的个数为N） 晶体 格波支数 （声学支、光学支） 每支格波的格波数 总的格波数 1（1、0） N N 一维双原子格子 2（1、1） N 2N 二维正方格子 2（2、0） N 2N 金刚石结构 6（3、3） N 6N 13.4 晶格振动的量子化与声子 由玻恩卡门条件可以知道：在有限的晶体内，振动模式（q，ω）是分立的； 每一个独立的振动模式，都可以看成是一个谐振子，总能量为N个谐振子能量之和 根据量子力学，一个谐振子的能量可以写成 声子：晶格振动的最小单位 零点能 格波数 13.4 晶格振动的量子化与声子 对声子的深入理解 1、声子是晶格振动格波的能量量子，是晶格振动能量的最小单位；声子越多，该模式振动越强烈； 2、声子是玻色子，服从玻色-爱因斯坦统计分布； 5、声子服从能量守恒和准动量守恒： 3、声子不是一种真实的粒子，不携带物理量，其准动量为?q； 4、声子数不守恒，在与其他粒子碰撞时，可产生，也可湮灭； 13.4 晶格振动的量子化与声子 关于晶格振动简正坐标的表示，以及谐振子能量公式的推导 问题的提出：如果采用xn为坐标系，那么会有N（N为原子个数）个实数坐标系；而这N个坐标系的物理性质又相互关联，这将为讨论问题带来麻烦； 解决思路：采用一归一化正交坐标系使其坐标系中的物理操作都是相互独立的——简正坐标； 步骤一：线性叠加 解决方法：简正坐标的建立即变原来的几何空间为状态空间，在状态空间建立相应的坐标系去讨论问题； 归一化因子 步骤二：简正坐标的表示 以bnq为坐标系——简正坐标 为状态空间q的坐标系 独立的坐标数仍然为N个，因而晶体中原子的自由度总数仍然是一致的 在简正坐标系下讨论该问题： 动能 1 势能 设平衡位置时能为零 总能量 根xn无关，只跟波矢q有关 进一步讨论：哈密顿方程 每个谐振子的能量 谐振子能量是量子化的，有N个独立的谐振子，总能量为其和