第七章 常微分方程(二).ppt

第七章　常微分方程(二) 基本要求 §7.3 二阶微分方程 3.2 二阶常系数线性方程解的结构 3.3 二阶常系数线性齐次微分方程的解法 3.4 二阶常系数线性非齐次微分方程求特解的方法 练 习 * * §7.3 二阶微分方程 3.1 可降阶的高阶方程 3.2 二阶常系数线性微分方程解的结构 3.3 二阶常系数线性齐次微分方程的解法 3.4　二阶常系数线性非齐次微分方程的解法 1.会用降阶法解一些高阶微分方程 2.了解线性微分方程的解的性质 3.掌握二阶常系数线性微分方程解的结构 只需将方程两边连续积分n次. 一、 型 解法 解 . 特点 方程右端仅含有自变量 阶方程 的 例1 求 的通解. 3.1 可降阶的高阶方程 二、可降阶的特殊二阶方程 二阶方程一般形式 下面介绍两种可降阶的特殊二阶方程: 特点 方程右端不显含未知函数 . 解法 令 原方程就化为： 关于p(x)的一阶方程 1. 型 求出其通解 ,即 原方程通解为 解 令 原方程化为 得 即 原方程的通解为 . 例1 求方程 的通解. 特点 方程右端不显含自变量 2. 型 解法 令 原方程化为 求得 ,即 用分离变量法解此方程, 得原方程的通解 的特解. 解 令 原方程化为 分离变量,得 例2求 满足初始条件 两边积分,整理得 由 ,得 于是有 所求特解为 由 得 一、二阶常系数线性方程 定义1 如果二 阶方程中出现的未知函数以及 未知函数的各阶导数都是一次的,该方程称为 二阶线性方程. 二阶线性方程的一般形式为 其中 是 的连续函数, 称为二阶线性齐次方程. 若 ,上述方程称为二阶线性非齐次方程. 若 ,上述方程称为二阶线性齐次方程. 当 为常数 时，方程 称为二阶常系数线性非齐次方程. （1） 称为二阶常系数线性齐次方程. 二、二阶常系数线性齐次方程解的结构 定理 1 如果函数 ) ( 1 x y 与 ) ( 2 x y 是方程 的两个解,则 也是(2)的解.其中 是任意的常数. 注意:虽然 常数,但是它不一定是(2)的通解. 含有两个任意 解的叠加原理 称函数 ) ( 1 x y 与 ) ( 2 x y 在 Ｘ 上 线性无关 . 若在 Ｘ 上有 常数， = ) ( ) ( 2 1 x y x y 称函数 ) ( 1 x y 与 ) ( 2 x y 在 Ｘ 上 线性相关 . 若在 Ｘ 上有 常数， ) ( ) ( 2 1 x y x y 定义 的两个线性无关的特解，则 例如,不难验证 是二阶线性 故 是方程 的通解. 定理2(解的结构定理) 若 是方程 与 是(2)的通解， 其中 是任意常数. 齐次方程 两个特解,又 方程 的两个线性无关的特解， 是对应齐次 定理3(解的结构定理)设 是二阶线性非齐次 为(1)的通解.其中 是任意常数. 则 （1） 一个特解, 三、二阶常系数线性非齐次方程解的结构 定理4 (叠加原理)设 分别是方程 的特解,则 是方程 的特解. 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 解法: 特征根法 将其代入上方程, 得 特征方程 (2) 故有 (3) 称为(2)的特征多项式. 这里 为常数. 1. 有两个不相等的实根 (2)的两个线性无关的特解 得齐次方程(2)的通解为 特征根为 特征根 (5) (2) 解 特征方程为 故微分方程的通解为 特征根为 , 解 特征方程为 故微分方程的通解为 例3 求 的通解. 例4 求 的通解. 特征根为 2. 有两个相等的实根 一个特解为 得齐次方程(2)的通解为 特征根为 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例5 特征根为 3. 有一对共轭复根 (2)的两个复值函数形式解: (利用欧拉公式: ) 重新组合,令 (2) 无关的特解，于是得齐次方程(2)的通解为 把微分方程(2)的求解问题化为特征方程(3)的 求根问题,再由特征方程的根确定其通解的方 法称为特征根法. 由3.2定理2知 为方程（2）的两个线性 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例7 解 特征方程为 故所求通解为 例6 求 的通解. 小结 求二阶常系数线性齐次方程的通解步骤: 第三步 按特征根形式写出方程(2)的通解: 第一步 写出特征方程; 第二步 求特征方程的两个根 二阶常系数线性非齐次方程一般形式为 通解结构 (1) 对应齐次方程 (2) 为(1)的特解, 为(2)的通解. . 其中 为常数. 求特解 的方法—待定系数法.