第三章_中值定理和导数的应用.ppt

二、曲线的渐近线 为曲线的一条渐近线。 渐近线有以下三种： 如果 （A为常数）， 则称直线 y =A为曲线 水平的渐近线。 （ii）垂直渐近线 则称直线x = x0为曲线 （iii）斜渐近线：若 若动点M沿曲线 无限远离坐标原点时， M与某一固定直线L的距离趋近于零， （i）水平渐近线： 或 如果 a ? 0 时， 则称直线Y = ax +b是曲线y = f (x)的斜渐近线。 y = f (x)的垂直渐近线。 则称该直线L 定义3.5.2 例4 求曲线 的渐近线。 解 由于 所以x=0,x =2是曲线的两条垂直渐近线。 于是，y = x ?1是曲线的斜渐近线 又 (2) 讨论函数的奇偶性和周期性，确定图形的对称性和周期性； 三、函数作图 函数作图的一般步骤： (1) 确定函数f (x)的定义域和图形范围； (3) 讨论渐近线，确定图形的变化趋势； (4)计算f ?(x) 和f ??(x)； (5) 求函数的间断点、驻点、不可导点和拐点，将这些点由小到大， 从左到右插入定义域，得到若干个子区间； (6) 列表讨论函数在各个子区间内的增减性、凹凸性、极值点和拐点； (7) 求曲线上的一些特殊点，如与坐标轴的交点等，有时还要求出 一些辅助点上的函数值，然后根据（6）中的表格描点绘图。 例5 作出函数 的图形。 在此区间上函数连续且为偶函数，图形关于y轴对称。 (4) 列表讨论（由对称性，仅讨论x?[0, +?）的情形）： 解 （1）函数的定义域为（??? ??）， （3） 拐点 0 0 极大值 1 x 0 + （2） 因为 ，所以y=0是水平渐近线。 正态分布曲 线或高斯曲线。 （5）作图 由以上讨论可作出曲 线在[0，+?）内的图形， 再由对称性可得全图. 该曲线在概率论中也称为 是拐点 O y x 例6 绘 的图形 解： 定义域 令 令 垂直渐近线 水平渐近线 例 作函数 的图形 解：定义域 令 当 不存在 极大 极小 渐近线 垂直渐近线 无水平渐近线 斜渐近线 有向曲线与有向线段的概念 第6节 弧微分 曲率 1. 弧微分 给定曲线 ，取曲线上一固定点 作为度量弧长的基点。 规定：（1）自变量x增大的方向为曲线的正向； (2) 当弧段M0M的方向与曲线正向一致时，其弧长s0; 相反时s0. 显然弧长s是x的单调增函数：s=s(x). , 。 弧长的增量为?s=弧MN,设弦MN的长为|MN|，则 弧的导数与微分 在点M(x,y)的附近取另一点N(x+?x,y+ ?y), 上式令? x→0，两端求极限，得 因为s(x)是x的单调增函数：. 弧微分公式 N 2. 曲率 如何描述曲线的弯曲程度呢？ 我们引入曲率概念如下. 设曲线L具有连续转动的切线，在L上选定一点M0作为度量弧长的基点。设L上点M对应的弧长M0M=s，点M处切线的倾角为α，L上另一点N对应的弧长M0 N=s+?s，切线倾角为α +? α,弧段MN的长度为| ? s|(N在M的右侧， ? s为正，否则? s为负)，从M到N，切线转过的角度为? α。 曲率定义： N 定义3.5.1 在曲线L上，当点N沿曲线L趋于 点M时，如果极限 存在，则称此极限值为曲线L在点M处的曲率 （2）圆周上各点处的曲率都等于1/R; 注： （1）直线的曲率处处为零; （3）曲率公式：若曲线方程为y=f(x),则 若曲线由参数方程给出，则计算y对x的一阶、二阶导数代入上式即可。 3. 曲率圆与曲率半径 曲率圆与曲线在点M处相切，且有相同的凹向，相同的曲率， 所以曲率圆与曲线在M点密切相切，故也将曲率圆成为密切圆。 从而可用曲线在一点处的曲率圆弧来近似该点附近的曲线，称为曲线在该点附近的二次近似 设函数y=f(x)二阶可导，且f ??(x)≠0，则曲线y=f(x)在点 M(x,y) 处的曲率中心D=(α,β)的坐标为： 如果已知函数f(x)在点x0的泰勒公式，则可由泰勒公式确定函数f(x)在点x0 的高阶导数值， 例3.3.6 设 ﹡4. 泰勒公式的应用—(3)求高阶导数 所以 求 的含皮亚诺余项的马克劳林公式, 并求: 解: f (99)(0)=99×98=9702 由于函数 麦克劳林公式中 的系数为 ， 于是有 即 例3.3.7 设函数f(x)在区间(a, b)上有 取 ﹡4. 泰勒公式的应用—(4)证明某些结论 证明: 证明: 由 f(x)在点x0的一阶泰勒公式得 i=1,2 (xi在点xi与x0之间) 将两个