[工学]4环境统计概率基础.ppt

4 概率基础 教学目的与要求： 了解随机现象、随机试验、随机事件、和概率的概念，了解。掌握随机变量的数字特征以及几种常见的概率分布。了解大数定律和中心极限定理。 重点、难点： 概率；随机变量及其概率分布 4.1 随机现象与随机事件 4.1.1 确定性现象与随机现象 根据客观现象的特征，一般将其分为两类：一类是在一定条件下必然出现（或不出现）某种结果的现象，称之为确定性现象。另一类现象是在一定条件下具有多种可能过结果，具体出现哪一种结果事先是不能确定的，这种在给定条件下不能确定哪一种结果会出现的现象，称之为随机现象。 随机现象是概率论中的主要研究对象。 4.1.2 随机试验与随机事件 对随机现象进行观测称作随机试验。随机试验应具下列有三个特性： 可重复性，即可以在相同的条件下重复进行试验； 非唯一性，即每次试验的可能结果不止一个，并且事先能明确试验的所有可能结果； 随机性，即进行一次试验之前，不能确定哪一个结果会出现。 随机试验的每一种结果或随机现象的每一种表现称作随机事件，简称为事件。一般用字母A，B，C，……（必要时加下标）表示事件。有时也可用｛……｝表示事件，括号中写明事件的内容。 4.2 概率的概念及其计算 4.2.1 概率的概念 对于一个随机事件来说，它在一次试验中，可能发生，也可能不发生。既然是可能性，就有可能性的大小问题。事件A在随机试验中出现可能性大小的数值度量，称作概率。事件A的概率以P（A）表示。 4.2.1 随机事件的频率与概率的关系 在相同条件下，重复进行统一随机试验，A是这个试验的一个结果（事件）。设试验的次数为n,在n次重复试验中A出现的次数为nA，则事件A的频率为 当试验次数n较小时，频率的数值有较大的波动；当n充分大时，频率数值的波动明显减小，并且随着n的增大会趋于稳定在某个常数p。通过大量观测可以发现，随即试验的频率具有随试验次数增加而趋向稳定的性质，而频率的稳定值可以用来反映事件发生的可能性的大小。因此，可以说频率的稳定值p是事件A发生的概率。即 P（A）= p 4.2.3 概率的性质 设事件A的概率为P（A），它则具有如下性质： 性质1 非负性，即 0 ≤P（A）≤1 性质2 规范性，即 P（Ω）= 1，P（Φ）= 0 性质3 对于两两互不相容事件Ai（i =1，2，…），则有 4.2.4 概率的计算 4.2.4.1 古典型概率 如果一项随机试验的全部基本事件总数有限，并且各基本事件出现的可能性都相同，事件A由若干基本事件所组成，则A的概率可用下式计算 例4.1 袋中盛有除颜色外其他完全相同的50个不同颜色的小球，其中有10个白球，充分混匀后随意摸出一球。求所摸为白球的概率。 解：记A=｛抽到白球｝。该试验总共有50个等可能的基本事件，A包含其中的10个。因此 4.2.4.2 概率的加法公式 （1）任意事件加法公式 任意两个事件和（并）的概率，等于两事件概率的和再减去两事件同时发生的概率。即 P（A+B）= P（A）+ P（B）- P（AB） （2）互斥事件的加法公式 两个互斥事件A与B之和的概率，等于这两个事件的概率之和。即 P（A+B）= P（A）+ P（B） 4.2.4.3 条件概率和乘法公式 在实际问题中，除了要知道事件A发生概率外，有时还需要知道在“事件B已发生”的条件下，事件发生的概率，这种概率成为条件概率，记作P（A︱B）。 例4.2 在某厂一天两个班次生产的350件产品中，第一班生产200件，含次品9件；第二班生产150件，含次品4件。现随机抽出一件产品，发现它是次品。问这件产品出自第一班的概率是多少？ 解：记A=｛所抽产品是第一班生产的｝，B=｛所抽产品是次品｝。显然有 但在已知事件B发生的条件下，A发生的概率就不同了，可以直观的写出条件概率为：把上式的分子、分母同时除以350，得 把上式的分子、分母同时除以350，得 这里AB=｛所抽产品是第一班生产的次品｝。 这就导出了条件概率下列一般定义：设A，B是任意两个事件，且P（B）＞0，则称 为“在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率”，简称“A关于B的条件概率”。 由这个定义，可得到概率的乘法公式：设A与B是任意两个事件，且P（A）＞0，P（B）＞0，则 P（AB）= P（B）P（A︱B） P（AB）= P（A）P（B︱A） 例4.3 设一批产品共N件，其中有M件次品，不放回地抽取2件，求事件｛第一件抽到的是正品，第二件抽到的是次品｝的概率。 解：记A =｛第一件是正品｝，B =｛第二件是次品｝，所求事件为AB。根据乘法公式，有 P（AB）= P（A）P（B︱A）