[工学]7-3 平面及其方程.ppt

一、平面方程 1. 点法式 2. 一般式 例2 二、两平面的夹角 例8 例10 内容小结 备用题例3-1 (方法2) 例6-1 例8-1 又∵ 原点O(0, 0, 0) 在该平面上. 因为所求平面过 x 轴 ， O ? M (4, 1, -2) 故可取 所求平面的点法式为 第三节 一、平面方程 二、两平面的夹角 三、点到平面的距离 平面及其方程 1. 点法式方程 2. 一般式方程 3. 截距式方程 第七章 特征： ① ② 如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法向量． ? 平面方程有三种表达形式： —— 平面的点法式方程 注 ② 平面上的一定点 反之， 不垂直， ，即点M的坐标一定不 满足(3.1). 所以(3.1)式是平面?的方程. 确定平面方程的二 要素： ① (可不唯一) 解 取 例1 所求平面方程为 化简得 (方法1) 则 共面，故所求平面方程为 亦即 (方法2) 三元一次方程 平面方程 证 ( ) ( ) 代入(3.2), 便可化为(3.1). —— 平面的一般式方程 法向量: 一些特殊平面方程 (1) 平面? 通过坐标原点； (2) 平面?平行于坐标轴； (缺少x项) 平面通过 轴； 平面平行于 轴； 平面?平行于 坐标面： 类似地，可讨论平面平行于y 轴、z 轴的情形. (3) 平面?平行于坐标面； 类似地，可讨论平面平行于其他坐标面的情形. 设平面为 由平面过原点知 所求平面方程为 解 例3 (方法1) O ? P(6,-3,2) 点P(6,-3,2)，O(0,0,0) 法向量： 所求平面方程： (方法2) 故可取法向量： 解 化简得 所求平面方程为： 例4 设平面为 将三点坐标代入得 解 3. 截距式例5 代入所设方程得 —— 平面的截距式方程 求平行于平面 6x + y + 6z + 5 = 0 而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程. 设平面为 由所求平面与已知平面平行得 （向量平行的充要条件） 解 例6 化简得 令 代入体积式 所求平面方程为 定义 （通常取锐角） 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角. 按照两向量夹角余弦公式有 —— 两平面夹角余弦公式 两平面位置特征： 事实上， 研究以下各组里两平面的位置关系： 解 两平面相交，夹角 例7 ? 两平面平行但不重合． 两平面重合 解 所求平面的法向量为： 解 三、点到平面的距离例9 —— 点到平面距离公式 解 平面的方程 （熟记平面的几种特殊位置的方程） 两平面的夹角. 点到平面的距离公式. 点法式方程. 一般方程. 截距式方程. （注意两平面的位置特征） 思考题 思考题解答 解 (方法1) 因为所求平面过 x 轴 ， 故可设平面的一般式方程为 代入(1), 消去C 得所求平面方程