[理学]第二章 拉格朗日方程.ppt

O A C k 例 题 7 质量为m1、半径为 r 的均质圆轮在水平面上纯滚，轮心与刚性系数为k 的弹簧相连。均质杆AB长度为l ，质量为m2 。 求：系统的运动微分方程。 解：1、系统的约束为完整约束， 主动力为有势力。 2、系统具有两个自由度，广义坐标选择为q=(x, ?), x 坐标的原点取在弹簧原长处。 ? x x y O A C k ? x x y 3、计算系统的动能： 速度vC的确定 系统的势能由弹簧势能与重力势能所组成： O A C k ? x x y 拉格朗日函数 4、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程 拉格朗日(Lagrange)方程的初积分 （1）循环积分（广义动量守恒） （2）能量积分（广义能量守恒） 当 L 函数不显含某一广义坐标 qj 时， qj ___称为循环坐标， 此时，有循环积分： 系统主动力有势，L 函数不显含时间t ，约束是定常的， 即有机械能守恒： 循环积分与能量积分 拉格朗日方程是 s 个二阶常微分方程组，我们希望也像牛顿 力学一样 ，若能首先对微分方程组积分一次 ，找出某些初积分 （ 或叫第一积分 ），使我们对某些问题的求解能简便些 。在某 些情况下，部分的第一积分容易得到。 1、循环积分 一般保守力学系的拉格朗日函数是全部广义坐标和 广义速度（广义动量）及时间 t 的函数，即 若L中不显含某一广义坐标 q j ，则称 q j 为循环坐标 （也叫可遗坐标）。这时有 代入拉格朗日方程 则 可见，当L函数中不含某广义坐标 q j 时，这个 q j 即循环坐标 所对应的广义动量 就是守恒量，称为循环积分。 这表明，对任一循环坐标，都对应有一个循环积分。 解 ： 设质点的质量为m，因为只有一个质点，故n＝1， 自由质点只受有心力作用时，作平面曲线运动， 所以 s＝2，取极坐标（r，?）为广义坐标，则有 可见 L 函数中不含 ? ，所以 ? 是循环坐标，则 [例4] 求一自由质点在有心力场中的循环积分。 2、能量积分 体系是否能量守恒的问题。由拉格朗日方程得到能量积分 需要一定的条件。 （1）若 n 个质点组成的受理想约束的完整系只受保守力作用， 称为完整的保守的力学体系。设其自由度数为 s ，先求 体系以 q?、 表示的动能式。因 所以 则体系的动能 * * 分析力学 动力学普遍方程 和拉格朗日方程 ※ 动力学普遍方程 ※ 拉格朗日方程 ※ 拉格朗日方程的初积分 ※ 结论与讨论 考察由n个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗贝尔原理，有 主动力 约束力 惯性力 令系统有任意一组虚位移 系统的总虚功为 动力学普遍方程 系统的总虚功为 利用理想约束条件 得到 —— 动力学普遍方程 任意瞬时作用于具有理想约束的系统上的 主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和 等于零。 动力学普遍方程的直角坐标形式 动力学普遍方程 适用于具有理想约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有定常约束的系统，也适用于具有非定常约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有完整约束的系统，也适用于具有非完整约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有有势力的系统，也适用于具有无势力的系统。 ?动力学普遍方程 主要应用于求解动力学第二类问 题，即：已知主动力求系统的运动规律。 ? 应用 动力学普遍方程 求解系统运动规律时，重要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。 ? 由于 动力学普遍方程 中不包含约束力，因此，不需要解除约束，也不需要将系统拆开。 ? 应用 动力学普遍方程 ，需要正确分析主动力和惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。 动力学普遍方程的应用 例 题 1 已知： m ，R, f ， ? 。 求：圆盘纯滚时质心的加速度。 ? C mg ? aC FIR MIC ?x 解：1、分析运动，施加惯性力 2、本系统有一个自由度， 令其有一虚位移 ?x。 3、应用动力学普遍方程 其中： 例 题 2 离心调速器 已知： m1－球A、B 的质量； m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度； ?－ O1 y1轴的旋转角速度。 求： ?－ ? 的关系。 ? B A C l l l l ? ? O1 x1 y1 解： 不考虑摩擦力，这一系统 的约束为理想约束；系统具有一 个自