[理学]第五章 定积分及其应用.ppt

5.1 定积分的概念和性质 5.4 广 义 积 分 二. 瑕 积 分 5.5 定积分在几何上的应用 二. 平面图形的面积 四.平面曲线的弧长 5.6 定积分在物理上的应用 二. 水压力 三. 引 力 四. 函数的平均值 解 解 解 例1 解 定理2 （证明略） 例2 解 解 证1 证2 证 一. 微元法 分割 近似代替 求和 取极限 微元法 （元素法） 1. 直角坐标系 解 两曲线的交点 选 为积分变量 解 求两曲线的交点 选 为积分变量, 若选 为积分变量 如果曲线 C 为参数方程 2. 参数方程 （证明略） 解 椭圆的参数方程为: 由对称性 , 面积元素 曲边扇形的面积 3. 极坐标系 解 由对称性 例 4 解 1 利用对称性知 例 5 解 2 因为所求面积为: 三. 体 积 1. 已知平行截面面积立体的体积 如果一个立体介于垂直于 轴的两个平面 解 1 取坐标系如图 底圆方程为: 截面面积 解 2 取坐标系如图 底圆方程为: 解 截面面积为： 例2 求由两个圆柱面 围立体的体积 . 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台 2. 旋转体的体积 证 例２ 例 3 注： 例 4 计算下列极限： 例5 求 例6 设 , 求 . 原式 解 解 5.3 定积分的计算 （ 换元积分法 ） 注意: 一. 定积分的换元积分法 证 证毕 例 1 求 解 例 2 证 例3 计算 奇函数 解 原式 偶函数 单位圆的面积 证 令 令 证 证 例5 证明若函数 是周期为 的连续函数，则 二. 定积分的分部积分法 分部积分公式 证 （ 分部积分法 ） 证毕 例 6 计算 解 “反幂”型 例 7 求 解 问题的提出： 推广： 一.无穷积分 定义 例1 计算无穷积分 解 例2 解 例3 定理1 （证明略） 例4 解 解 定义 * 第五章 定积分及其应用 5.2 牛顿-莱布尼兹公式 5.3 定积分的计算 5.4 广义积分 5.1 定积分的概念和性质 5.5 定积分在几何上的应用 5.6 定积分在物理上的应用 a b x y o 实例1 求曲边梯形的面积 A . 一. 问题的提出 第五章 定积分及其应用 a b x y o a b x y o 用矩形的面积近似代替曲边梯形的面积 显然，小矩形越多， （四个小矩形） （九个小矩形） 小矩形的面积之和就越 接近曲边梯形的面积． a b x y o （1）分割 （2）近似代替 （3）求和 （4）取极限 曲边梯形面积为 求曲边梯形面积所用的方法步骤： 分割、 近似代替、 求和、 取极限 . 实例2 求变速直线运动的路程 . （1）分割 （3）求和 （4）取极限 （2）近似代替 定义 二. 定积分的定义 被积函数 积分变量 积分上限 积分下限 积分和 被积表达式 积分号 定积分的几何意义 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 a b o y x a b x y o a b x y o 注: （证明略） 例1 利用定义计算定积分 解 三. 定积分的性质 对定积分的补充规定: 性质 1 性质 2 性质 3 性质 4 性质 5 证 解 由积分中值定理，有 使 证 由积分中值定理， 考察定积分 记作 积分上限函数 5.2 牛顿-莱布尼兹公式 一.积分上限函数 活动上限定积分 牛顿（Newton , 1642-1727）, 英国数学家 . 莱布尼兹（Leibniz , 1646-1716）, 德国数学家 . （原函数存在定理） 定理的重要意义： （1）连续函数一定存在原函数 . （2）初步揭示了微积分学中的定积分与原函数之间的关系 （ 微积分学第一基本定理 ） （即积分学与微分学之间的关系）. 证 由积分中值定理得 （ 牛顿一莱布尼兹公式 ） 证 二. 牛顿-莱布尼兹公式 例 1 计算下列各题： 解 　（　　　型不定式　） 　（　　　型不定式　） *