[工学]第二章 信号的变换与系统函数.ppt

§2.1 离散信号的傅氏变换 §2.2 离散信号的z变换卷积 §2.3 系统函数及其零、极点和LTI系统的稳定性 §2.1 离散信号的傅氏变换 一、离散时间信号的傅氏变换 DTFT：Discrete-Time Fourier Transform 式2.1收敛的条件： 离散信号FT和模拟信号FT的比较： 离散信号FT 模拟信号FT 可以发现二者的实质是一样的，都是完成时间域 频域 的转换，不同处： 时间变量：n取整数，求和运算； t取连续变量，积分运算。 频域变量：ω是数字频率的连续变量，以2π为周期； Ω是模拟频率的连续变量，无周期性。 例2-1-1 若x(n)=R5(n)=u(n)-u(n-5)，求此序列的傅氏变换。 解： X(ejw) = DTFT[x(n)] 频谱 二、离散信号傅氏变换的性质 1、序列的卷积特性 3、序列傅氏变换的对称性 共轭对称与共轭反对称两个概念： 共轭对称序列 xe(n) 定义为 xe(n) = xe*(-n) ； 共轭反对称序列 xo(n) 定义为 xo(n) =－ xo*(-n) 上标*表示共轭。 4、序列傅氏变换的其他一些性质（与傅里叶变换类似） 三、线性非移变系统的响应 由序列的卷积特性，则有 2、系统频率响应的特点 (1) H(ejω)是ω的连续函数； (2) H(ejω)是ω的以2π为周期的函数； (3) 一般来讲它是ω的复函数，其幅度|H(ejw)|称为幅度（增益）响应，而其相角 ∠H(ejw)则称为相位响应。 (4) 系统的单位取样响应与系统的频率响应互为傅氏变换对。 h(n) ←→H(ejw) 例2-1-2 若离散时间系统的理想LPF的频率特性为H(ejw)如图所示，求它的傅里叶反变换h(n)（即单位样值响应） §2.2 离散信号的z变换 在线性离散系统中，z变换所起的作用是将解离散系统差分方程的时域方法变为解代数方程的频域方法，因此， z变换在离散信号处理中起着相当重要的作用。 一、z变换的定义 序列x(n)的z变换定义为? 分别讨论几种序列的z变换及其收敛域 1、右边序列 序列x(n)当nn0时等于零， 称为右边序列。 2、左边序列 序列x(n)当n≥n0时等于零，称为左边序列。 三、z变换的性质 设Z[x(n)] = X(z) Rx- |z| Rx+ Z[y(n)] = Y(z) Ry- |z| Ry+ 四、z反变换 z反变换表示为x(n) = Z-1[X(z)] 通常有三种方法（幂级数法、部分分式法、留数法） z变换为有理分式情形，可利用长除法展开幂级数 已知x(n)是右边序列，分子分母多项式按降幂排列进行长除。 已知x(n)是左边序列，分子分母多项式按升幂排列进行长除。 例2-2-6 由极点可画出三种收敛域 五、单边z变换 单边变换的移位特性 六、z变换与傅氏变换的关系 分析z变换收敛条件： §2.3 系统函数及其零、极点和LTI系统的稳定性 一、系统函数 LTI系统有 y(n)=x(n)*h(n) 对等式进行Z变换 Y(z)=X(z)·H(z) 则有 二、线性非移变因果系统的稳定性 三、系统函数的零极点 已知LTI系统常用差分方程来描述 例2-3-1已知离散时间系统的框图，求系统频率响应特性。 系统的频率响应特性 频率响应特性曲线 3、乘以指数序列（ z域尺度变换） Z[anx(n)] = X(a-1z) = X(z/a) |a|Rx- |z| |a|Rx+ 此时，零极点位置要发生变化 若 X(z) 有零或极点 z1， 则 X(a-1z) 就有零或极点 az1。 4、X(z)的导数（序列线性加权） 5、复序列的共轭序列 设x(n)为复序列 Z[x*(n)] = X*(z*) Rx- |z| Rx+ Rx- |z| Rx+ 6、翻褶序列 7、初值定理与终值定理 若 X(z) = Z[x(n)] 的极点处于单位圆|z| = 1 以内，则有 （初值定理） （终值定理） 设x(n)是因果序列，即x(n) = 0，n0，则有 注意：当n→∞，x(n)收敛，才可用终值定理 8、序列的卷积（时域卷积） Z[x1(n)*x2(n)] = X1(z)·X2(z)