[工学]第二章 连续系统的时域分析.ppt

Chapter 2 连续系统的时域分析 ?2.3 卷积积分 ② ① ?2.3 卷积积分 ③ ④ ?2.3 卷积积分 ?2.3 卷积积分 从非零区间的位置、宽度和图形形状分析两个 门函数卷积结果有何特点？ 思考： * = * = ?2.3 卷积积分 结论： 1. 非零区间宽度为两个时限信号宽度之和。其非 零区间起点为两个时限信号非零区间起点之和， 非零区间终点为两个时限信号非零区间终点之和。 2. 若两个门函数的宽度相同，则卷积波形为三角 形；若二者宽度不相同，则卷积波形为梯形。 解释 3. 门函数的出现位置只影响卷积结果在坐标轴上 的位置，但结果的宽度和形状均不变。平移性质 P69 ?2.3 卷积积分 起点： 终点： 宽度： ?2.3 卷积积分 例2.3-2 设 。 求卷积积分：(1) (2) 解：(1) 三. 解析法 (2) ?2.3 卷积积分 一般而言，两个函数的卷积是否存在(收敛)与函数的 形状有关。若二者均为有始的可积函数，那么二者的 卷积一定存在，否则视具体情况而定。 例如： 而 不存在。【可用图示法解释】 ?2.4 卷积积分的性质 ?2.4 卷积积分的性质 一. 卷积的代数运算 1. 交换律 令： 则 上式 得证。 证： ?2.4 卷积积分的性质 例2.4-1 设 ，分别用定义求 和 。 解： ?2.4 卷积积分的性质 物理意义分析： 以因果信号为例。 和 关于 对称。 即 和 在 所围的面积是相等的。 ?2.4 卷积积分的性质 2. 分配律 得证。 并联： * 证： ?2.4 卷积积分的性质 3. 结合律 【交换积分次序】 【令 】 【 】 得证。 证： ?2.4 卷积积分的性质 串联： * 或 ?2.4 卷积积分的性质 二. 函数与冲激函数的卷积 结论： * * = 证： 【 】 ?2.4 卷积积分的性质 推广1： * = 推广2： 若设 ，可得： 证： 【 】 ?2.4 卷积积分的性质 利用推广1的结论，可得：（自己下去证明） 推广3： * = * = ?2.4 卷积积分的性质 推广4： 若设 ，则有： * 证： ?2.4 卷积积分的性质 推广4： 若设 ，则有： 证： * 【多次运用结合律和交换律】 【多次运用结合律和交换律】 ?2.4 卷积积分的性质 例2.4-2 计算下列卷积积分。 (1) (2) 【 】 解：(1) 方法一：直接利用定义 方法二：利用推广4 ?2.4 卷积积分的性质 (2) 方法一：直接利用定义 【 】 ?2.4 卷积积分的性质 方法二：利用推广4 其中 原式 ?2.4 卷积积分的性质 例2.4-3 图(a)画出了周期为 的周期性单位冲激函数 序列，可称为梳状函数，一般用 表示，可写为 式中 为整数。函数 如图(b)所示, 求 。 (a) (b) * 一种周期函数 的表示方法 解： = (c) 周期 延拓 ?2.4 卷积积分的性质 三. 卷积的微分与积分 对任一函数 ，用符号 分别表示其一阶导数、二阶导数、三阶导数… ；用符 号 分别表示其一次积分、二 次积分、三次积分…。 若