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第二章 内积空间 内积的性质 例1 三、标准正交基与与施密特正交化方法 2、施密特正交化方法 例3 单位化得一组标准正交基 定义1 定理 A是正交矩阵（酉矩阵）的充要条件是A的列(行)向量组为正交单位向量组 仅证明列向量组为正交单位向量组 正交矩阵（酉矩阵）的性质 （2） 解 将x1,x2正交化、单位化得 设 则 设A是正交矩阵（酉矩阵），则 （3）正交矩阵（酉矩阵）的逆、乘积仍是正交矩阵（酉矩阵）。 （1） 　 定理2　设A是欧氏空间的一个线性变换，则下面几个命题等价： 　　(1)T 是正交变换； 　　(2)T 保持向量的长度不变，即对于任意的? ?V, ||T?||=||?||; 　　(3)如果?1,?2,…,?m是V的标准正交基,则T?1, T?2,…,T?m也是V的标准正交基；　　 　　(4)T在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵. 定义2　欧氏空间V 的线性变换T 称为正交变换， 若对任意?,??V, 均有(T?,T? )=(?,?) 自学：P31定理2.3.4 例1 在 里,把每一向量逆时针旋转一个角?的 的一个正交变换. 线性变换是 例2 对于每一向量 ,令?关于x0y面的镜面反射 与它对应. 是 的一个正交变换. R(i,j)是正交矩阵，通常称为Givens矩阵， 在讨论矩阵分解时有重要应用。 一般地，n维欧氏空间在平面 旋转角度为 的变换T在自然基下的变化矩阵为 定义 设 是一个单位向量，令 则称H是一个Householder矩阵或Householder变换。 性质 设H是一个Householder矩阵，则 Householder变换是酉变换。 （1）H是Hermite矩阵， ； （2）H是酉矩阵， ； （3）H是对合矩阵， ； （4）H是自逆矩阵 （5）diag(I,H ) 也是一个Householder矩阵; （6）若 则det H = -1。 定义2 ： 是欧氏空间V中的两个子空间， 如果对 恒有 则称子空间 为正交的,记作 对给定向量 定义1： 则称向量　与子空间 正交，记作 两两正交的子空间的和必是直和． 第四节 正交投影 定义3 ：设W是欧氏空间V的子空间，记 定理1 设W是欧氏空间V的一个有限维子空间， 那么 因而V的每一个向量ξ可以唯一写成 这里 设 令 证明 当W = {0}时，定理显然成立，这时 设 由于 W的维数有限， 因而可以取到W的一个规范正交基 那么 而 由于 是W的基，所以ζ与W正交， 这就证明了 即 剩下来只要证明这个和是直和。这是显然的， 那么 从而 定理被证明。 因为如果 例1 设 则 分析：根据子空间正交的定义，即证： 证明（1） 则存在 使 则 因此 即 在（1）中以AH代替A即得（2）。 定义4：设W是欧氏空间V的有限维非平凡子空间， 为V到W的正交投影变换。 可以证明，正交投影变换是线性变换。 证明 由于 所以 定理2 设W是欧氏空间V 的一个有限维子空间， 是V 的任意向量， 是 在W 上的正交投影，那么对于W 中任意向量， 都有 由勾股定理 定理：设P是n阶方阵，则P是正交投影矩阵的充分必要条件是 P是幂等的Hermite矩阵，即P2=P,PH=P 正交投影矩阵的求法： 设 为S的基， 令 则 特别地，当S的基为标准正交基时，即 从而 （详见P35） 例 设x1= (0,1,1)T，x2 = (1,2,0)T,W= L(x1,x2)，求从R3沿 到W的正交投影矩阵P， 并求y=(1,2,3)T在W上的投影。 * * 主要内容 一、欧氏空间与酉空间 二、内积空间的度量 三、正交变换 四、正交子空间与正交投影 五、最小二乘问题 第一节 欧氏空间与酉空间 在线性空间中，向量之间仅有加法与数乘两种代数运算， 而无向量长度、向量夹角等度量概念。向量内积正是适应 这种要求而引入的。内积空间是3维向量空间的自然推广， 故称实内积空间为欧氏空间，称复内积空间为酉空间。 定义 在实线性空间V中，若任意两个向量 按某种法则有实数与之对应，记作 并满足公理， (2) (3) (4) 时等式成立 当且仅当 则称实数 为向量 的内积， 定义了内积的实线性空间叫做欧氏空间。 一、欧氏空间 例1 在向量空间Rn，设 可以验证 满足内积的定义， 称之为Rn中的标准内积。 例2 在向量空间Rn，设 定义 定义 可以验证 也是Rn中的内积。 说明（1）同一线性空间可定义不同的内积，从而形成不同的欧氏空间。 （2）不