[理学]线性代数第五版 第二章 矩阵及其运算.ppt

第二章 矩阵及其运算 §1 矩阵 一、矩阵概念的引入 二、矩阵的定义 三、特殊的矩阵 四、矩阵与线性变换 例 某航空公司在 A、B、C、D 四座城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地. B A C D 城市间的航班图情况常用表格来表示: √ √ 一、矩阵概念的引入 为了便于计算，把表中的√改成1，空白地方填上0，就得到一个数表： A B C D A B C D √ √ √ √ √ √ √ 这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况. 其中aij 表示工厂向第 i 家商店 发送第 j 种货物的数量． 例 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可 用数表表示为： 这四种货物的单价及单件重量也可列成数表： 其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量． 由 m×n 个数 排成的 m 行 n 列的数表 称为 m 行 n 列矩阵，简称 m×n 矩阵． 记作 二、矩阵的定义 简记为 元素是实数的矩阵称为实矩阵， 元素是复数的矩阵称为复矩阵. 这 m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元. 行数不等于列数 共有m×n个元素 本质上就是一个数表 行数等于列数 共有n2个元素 矩阵 行列式 行数与列数都等于 n 的矩阵，称为 n 阶方阵．可记作 . 只有一行的矩阵 称为行矩阵(或行向量) . 只有一列的矩阵 称为列矩阵(或列向量) . 元素全是零的矩阵称为零距阵．可记作 O . 例如： 三、特殊的矩阵 形如 的方阵称为对角阵． 特别的，方阵 称为单位阵． 记作 记作 ． 同型矩阵与矩阵相等的概念 两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵. 例如 为同型矩阵. 两个矩阵 与 为同型矩阵，并且对应元 素相等，即 则称矩阵 A 与 B 相等，记作 A = B . 注意：不同型的零矩阵是不相等的. 例如 表示一个从变量 到变量 线性变换， 其中 为常数. 四、矩阵与线性变换 n 个变量 与 m 个变量 之间的 关系式 系数矩阵 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系. 例 线性变换 称为恒等变换. 单位阵 En 投影变换 例 2阶方阵 以原点为中心逆时针 旋转j 角的旋转变换 例 2阶方阵 §2 矩阵的运算 例 某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店 发送货物的数量可用数表表示： 试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量． 其中aij 表示上半年工厂向第 i 家 商店发送第 j 种货物的数量． 其中cij 表示工厂下半年向第 i 家 商店发送第 j 种货物的数量． 解：工厂在一年内向各商店发送货物的数量 一、矩阵的加法 定义：设有两个 m×n 矩阵 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩阵 A 与 B 的和记作 A＋B，规定为 说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算. 知识点比较 交换律 结合律 其他 矩阵加法的运算规律 设 A、B、C 是同型矩阵 设矩阵 A = (aij) ，记－A = (－aij)，称为矩阵 A 的负矩阵． 显然 设工厂向某家商店发送四种货物各 l 件，试求：工厂向该商 店发送第 j 种货物的总值及总重量． 例（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表： 其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量． 解：工厂向该商店发送第 j 种货物的总值及总重量 其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量． 二、数与矩阵相乘 定义：数 l 与矩阵 A 的乘积记作 l A 或 A l ，规定为 结合律 分配律 备注 数乘矩阵的运算规律 设 A、B是同型矩阵，l , m 是数 矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算. 知识点比较 其中aij 表示工厂向第 i 家商店 发送第 j 种货物的数量． 例（续） 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送