[理学]线性代数课件22.ppt

所以 从而 * 北京科技大学《线性代数》课程组 2.2 行列式的性质 转置行列式： 行列式|AT|称为行列式|A|的转置行列式. 性质1 设A=(aij)为n阶行列式，则|A|=|AT|. 行列式中行与列具有同等的地位, 的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 说明: 因此行列式 证明 设A=(aij), AT=(bij) ，则aij=bji. 由行列式的定义: 所以|A|=|AT|. 性质2 设A=(aij) ，若 ，则|B|=-|A|. 例如： 需添加负号！ 证明 考虑对A做行变换，则 设B=(bij)， 设A=(aij)， ,不妨设i k， 根据行列式的定义， 因为 所以 推论 设A=(aij) ，若A中有两行（列）相同，则|A|=0. 证明 所以|A|=0. k = a a a a a a a a a nn n n in i i n L L L L L L L L L L L 2 1 2 1 1 12 11 k k k 设A=(aij) ，若 则|B|=k|A|, k为常数. 证明 设A=(aij)， ,根据行列式的定义， 性质3 |B | 注意|kA|与k|A|不同. 推论1 若方阵A中有一个零行(列),则|A|=0. 推论2 若方阵A中有两行(列)成比例,则|A|=0. 性质3说明,用一个数乘以行列式, 等于用这个数乘以 行列式的某一行(列)的每一个元素. 换句话说, 行列式 中某一行(列)的公因子可以提到行列式符号之外. 性质4　 若方阵A的某一列（行）的元素都是两数之和 证明 请问:下面的等式是正确的吗？ 答:不对. 应为: 性质5　 若 则 |B|=|A|. 性质5告诉我们， 矩阵A的行列式的某一行（列)元素， 加上另一行（列）对应元素的k倍， 行列式的值不变. 例2.4 计算四阶行列式 解 利用行列式的性质,将D化为上三角行列式. 例2.5 证明 解 方法一 方法二 例2.6 计算n阶行列式 解 将第 都加到第一列得 1 b b … b 0 a-b 0 … 0 0 0 a-b … 0 ……………………… 0 0 0 … a-b 例2.7 |A|称为反对称行列式. |A|称为对称行列式. 证明：奇数阶反对称行列式等于零. (其中n为奇数) 证明 即|A|=(-1)n|A|, 所以|A|=0. 例2.8 证明： 证明 =D1D2. 类似可以证明 例2.9 计算初等矩阵的行列式. 解 初等矩阵有三种类型，分别是： 定理2.3 设A,B均为n阶方阵,则|AB|=|A||B|. 证明 分两种情况： 1，A是初等矩阵. (1)A=E(i,j), 此时B→E(i,j)B=AB. 所以|AB|=(-B|)=|A||B|. (2)A=E(i(k)), 此时B→E(i(k))B=AB. 所以|AB|=k|B|=|A||B|. (3)A=E(i,j(k)), 此时B→E(i,j(k))B=AB. 所以|AB|=|B|=|A||B|. 2，A为任意n阶矩阵. 此时，存在初等矩阵Pi(i=1, …t) 使得A=P1P2…PtR, 其中R为行简化阶梯阵. 所以 （1）当A为可逆矩阵时,其行简化阶梯阵R=E， 所以RB=B， 所以|AB|=|A||B|. （2）当A为不可逆矩阵时，其行简化阶梯阵R有零行， 所以RB有零行， 故|R|=|RB|=0. 所以|AB|=|A||B|. 推论 若Ai(i=1,2, …s)为n阶方阵，则有 设 且 计算行列式A. 解 例2.10 北京科技大学《线性代数》课程组 *