[理学]运筹学2凸分析.pdf

最优化理论与算法 帅天平 北京邮电大学数学系 Email:tpshuai@, TelRm:主楼814 §2 ，凸分析与凸函数 TP SHUAI 1 2. 凸集与凸函数 •2.1 凸集与锥 n Df 2.1 设S为n维欧氏空间R 中的一个集合。若对 任意两点x (1) , x ( 2 ) S及每个实数[0,1],有 x (1) (1- )x ( 2 ) S 则称S为凸集。x (1) (1- )x ( 2 ) 称为x (1) 和x ( 2 )的凸组合。 TP SHUAI 2 2. 凸集与凸函数 T 例2.1 超平面H {x p x  }为凸集，其中p为n维列 向量，为实数。此外,下面相对于法向量p的半空 间都是凸集:  T 正的闭半空间H {x p x  } - T 负的闭半空间H {x p x  }  T 正的开半空间H {x p x  } - T 负的开半空间H {x p x  } TP SHUAI 3 2. 凸集与凸函数 p p x-x 0 x 0 x 0 x-x 0 x x 例2.2 集合L {x x x (0) d ， 0}为凸集，其中d 为 给定的非零向量，x (0)为定点。 集合L {x x  x(0) d ,  0}称为射线,x(0)为射线的顶点 TP SHUAI 4 2. 凸集与凸函数 m 1 m n Df 2.2 给定m个向量, x ,..., x R ,以及满足  1的  i i1 1 m 非负实数 R,i 1,.., m, 称向量 x ...  x 为 i