2011年中考真题二次函数的几何应用.doc

二次函数的几何应用 一、选择题 （2011?安顺）正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x．则y关于x的函数图象大致是（　C　） A、 B、 C、 D、 二、填空题 （2011山东日照，16，4分）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM=　2　时，四边形ABCN的面积最大． 考点：二次函数的最值；正方形的性质；相似三角形的判定与性质。 点评：本题考查了二次函数的性质的运用．关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式． 三、解答题 1. （2011江苏淮安，26，10分）如图，已知二次函数y= -x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,0)，与y轴交于点B. (1)求此二次函数关系式和点B的坐标； (2)在x轴的正半轴上是否存在点P，使得△PAB是以AB为底的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 考点：二次函数综合题。 专题：综合题。 分析：（1）把点A的坐标代入二次函数，求出b的值，确定二次函数关系式，把x=0代入二次函数求出点B的坐标．（2）作AB的垂直平分线，交x轴于点P，求出点P的坐标，若点P的横坐标是正数，那么点P就符合题意，这样的点是存在的． 解答：解：（1）把点A（4，0）代入二次函数有： 0=﹣16+4b+3,得：b= 所以二次函数的关系式为：y=﹣x2+x+3． 当x=0时，y=3, ∴点B的坐标为（0，3）． （2）如图： 作AB的垂直平分线交x轴于点P，连接BP， 则：BP=AP 设BP=AP=x，则OP=4﹣x， 在直角△OBP中，BP2=OB2+OP2 即：x2=32+（4﹣x）2, 解得：x=，∴OP=4﹣= 所以点P的坐标为：（，0） 点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）根据二次函数的概念求出抛物线的解析式及点B的坐标．（2）根据等腰三角形的性质，利用勾股定理求出点P的坐标． 2. （2011江苏淮安，28，12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P在AB上，AP=2.点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为t秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S. (1)当t=1时，正方形EFGH的边长是 ；当t=3时，正方形EFGH的边长是 ； (2)当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式； (3)直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？ 考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质。 专题：计算题；几何动点问题；分类讨论。 分析：（1）当时t=1时，可得，EP=1，PF=1，EF=2即为正方形EFGH的边长；当t=3时，PE=1，PF=3，即EF=4； （2）正方形EFGH与△ABC重叠部分的形状，依次为正方形、五边形和梯形；可分三段分别解答：①当0＜t≤时；②当＜t≤时；③当＜t≤2时；依次求S与t的函数关系式； （3）当t=5时，面积最大； 解答：解：（1）当时t=1时，则PE=1，PF=1，∴正方形EFGH的边长是2；当t=3时，PE=1，PF=3，∴正方形EFGH的边长是4； （2）：①当0＜t≤时， S与t的函数关系式是y=2t×2t=4t2； ②当＜t≤时， S与t的函数关系式是： y=4t2﹣× =﹣t2+11t﹣3； ③当＜t≤2时； S与t的函数关系式是y=（t+2）×（t+2）﹣（2﹣t）（2﹣t）=3t； （3）当t=5时，最大面积是： S=16﹣××=； 点评：本题考查了动点函数问题，其中应用到了相似形、正方形及勾股定理的性质，锻炼了学生运用综合知识解答题目的能力． 3. （2011?江苏宿迁，27，12）如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ=t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F． （1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM； （2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值． 考点：正方形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理。 专题：代数几何综合题。 分析：（1）由四边形ABCD是正方形得到∠A=∠B=∠D=90°，