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分析法和综合法 ? 数学解题的实质就是：设法找出条件和结论间的联系，实现条件（题目的已知条件）和结论（题目中要求的问题）的转化。怎么找？如何转化？有两个基本思路： ??? （一）综合法 ??? 即由条件向后（题目中要求的问题）进行推理，稍具体一点来说就是在认真观察、分析题目的条件和问题的基础上，瞄准最后要解决的问题，从已知条件出发，先选择某些条件推得一些结论（中间结果），然后把中间结果作为新的条件和原条件一起再推出一些结论，如此继续下去，直到推得题目要求的问题为止。这一过程可以简说成： ??? 从“已知”看“可知”（找需知）逐步推向“未知”。 ??? 概括起来讲就是：由因导果，逐步推出要解决的问题。 ??? 用综合法解题的关键是（1）基础知识熟；（2）瞄准目标进行推理（力争推出有用的东西，尽快接触问题的实质）。 ??? （二）分析法 ??? 即由结论向前找使结论成立的条件，稍具体一点来说就是在认真观察、分析题目的基础上，看着已知条件，从最后要解决的问题入手，找出解答这个问题需要的条件，然后把其中一个或几个未知的条件作为要解决的问题，再找出解答它们所需要的条件，这样逐步逆推，直到所需要的条件均为已知为止。这一过程可以简说成： ??? 从“未知”看“需知”（找可知）逐步靠拢“已知”。 ??? 概括起来讲就是：执果索因，逐步追溯到已知条件。 ??? 用分析法寻找解题思路非常有用。用分析法找到了解题思路后，通常应倒过来按综合法的思路书写解答过程。 ??? 人们常常把综合法和分析法结合起来使用，而且先用分析法倒推一、二步，再用综合法向下推理的比较多。 ??? 由原条件推得结论，称为第一层推理；第一层中得到的结论作为新的条件与原条件一起再推得结论，称为第二层推理......（上面说的是综合法推理，分析法推理也是这样）如果一眼就能由下向上看两层，由上向下看三层，那么解题能力就算比较强了。? [例1]? 自行车装配车间要装配690辆自行车，已经装了8天，每天装配45辆，由于改进了技术，剩下的任务6天就可以装完，问这6天中平均每天装配多少辆？ ????? 分析：（综合法的解题思路框图）?? （分析法解题思路框图）???? ??? （分析-综合法） ?????? 要求“李师傅在开工后几天停工的？”需要知道他“原计划加工的天数”、“停工的天数”和“后来加工的天数”。（分析法） ????? “原计划加工的天数”好求：384÷32=12（天）（综合法） ????? 停工2天。（已知） ??????要求“后来加工的天数”，需要知道“后来多加工的零件总数”和“每天多加工的零件数”。（分析法）（这一步很关键，若找到的两个条件是：“后来加工的零件总数”和“后来每天加工的零件数”，则就不太好办了，因为“后来加工的零件总数”难求。） ???????32×2=64（个）为“后来多加工的零件总数”。（综合法） ????? 后来每天多加工8个。（已知）? ?? 解：分步列式： ??????? 45×8=360（辆） ??????? 690-360=330（辆） ??????? 330÷6=55（辆） ??????? 综合列式： ??????? （690-45×8）÷6=55（辆） ????? 答（略）? [例2]已知ac≥2(b+d)．求证：方程x2＋ax＋b=0与方程x2+cx+d=0中至少有一个方程有实数根． ?? 思路分析 (1)要证至少有一个方程有实数根，只需证Δ1=a2 -4b与Δ2=c2-4d中至少有一个不小于零。 ??? (2)要证Δ1与Δ2中至少有一个不小于零，只需证Δ1+Δ2≥0 ??? (3)即(a2-4b)+(c2-4d)≥0 ??? (4)即a2+c2≥4(b＋d) ??? (5)由a2+c2≥2ac，ac≥2(b+d)可得a2+c2≥4(b＋d) ? （前四步为分析法，第五步为综合法。） ?? 由上述五步可知证题思路已沟通．? [例3]用A、B、C和a、b、c分别表示△ABC的三个角和三条边．求证当tanA·tanB≥1时，此三角形为锐角三角形． 　　? 思路分析 (1)要证三角形为锐角三角形，只须证A、B、C均为锐角. ?? (2)只须证 tanA、tanB、tanC均为正． ?? (3)由tanA· tanB＞l，可知tanA＞0、tanB＞0(为什么？)． ?? (4)所以tanC=tan[π-(A+B)]=(tanA+tanB)/(tanAtanB-1)0 ? （前两步为分析法，后两步为综合法。） ?? 据上述四步可知证题思路已通，证明途径找到了． ? [练习] ? 1、若(c—a)2-4(a—b)(b—c)=0．试证明：a、b、c组成等差数列． ? 2、已知关于x的方程x4-2x2cosθ＋sin2θ=0有相异四个实根．求θ的范围．