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相 似 一、基础知识 (一).比例 1.第四比例项、比例中项、比例线段； 2.比例性质：（1）基本性质： （2）合比定理： （3）等比定理： 3.黄金分割：如图，若，则点P为线段AB的黄金分割点． 4．平行线分线段成比例定理 (二)相似 1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形. 2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等. 3.相似三角形的判定 （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 9．相似三角形中常见的基本图形： 条件：DE∥BC∠1=∠B∠1=∠B 条件：AB∥DE∠A=∠DCD是斜边AB上的高 4. 相似三角形的性质 （1）对应边的比相等，对应角相等. （2）相似三角形的周长比等于相似比. （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方. （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 7.相似三角形的应用: １、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；２、利用三角形相似，求线段的长等 3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。 (三)位似: 位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比. 位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 二、经典例题 1. 如图在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上． （1）填空：∠ABC=______，BC=_______． （2）判定△ABC与△DEF是否相似？ [考点透视]本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力. [参考答案] ①135°，2 ②能判断△ABC与△DEF相似， ∵∠ABC=∠DEF=135°，= 【点评】注意从图中提取有效信息，再用两对应边的比相等且它们两夹角相等来判断． 2. 如图所示，D、E两点分别在△ABC两条边上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE∽△ABC． [考点透视]本例主要是考查相似的判定 [参考答案] ∠1=∠B或∠2=∠C，或 点评：结合判定方法补充条件． 3．已知：如图，在△ABC中，∠ADE＝∠C，则下列等式成立的是（ ）． A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 4．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。已知如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．已知：如图，正方形中，分别为的中点，与相交于点，则（ ）． A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD∶AB＝3∶4，AE＝6，则AC等于 (　　) A. 3 B. 4 C. 6 D．8 答案　D 解析　∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝. ∴＝，AC＝8. 7．(2011·威海)在?ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF∶CF＝(　　) A．1∶2 B．1∶3 C．2∶3 D．2∶5 答案　A 解析　在?ABCD中，AD綊BC， ∴AE＝AD＝BC. 由△AFE∽△CFB得，＝＝＝. 8．如图，点F是?ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 答案　C 解析　在?ABCD中，BC∥AD，所以△BCF∽△EDF，＝，故结论C错误． 9．若△ABC∽△DEF，它们的面积比为4∶1，则△ABC与△DEF的相似比为(　　) A．2∶1 B．1∶2 C．4∶1 D．1∶4 答案　A 解析　由△ABC∽△DEF，得AB∶DE＝＝2. 10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD为斜边上的高，若AC＝m，AB＝n，则△BCD的面积与△ACD的面积比的值是(　　) A. B．1－ C. －1 D. ＋1 答案　C 解析　在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝m，AB＝n.得BC2＝n2－m2；又∠ACB＝90°，CD⊥