[研究生入学考试]2013考研之线性代数总结笔记.doc

2013线性代数强化讲义 行列式 1 行列式 1）一般的行列式 其中为逆序数.排列中若存在大数在前，小数在后，这一对数构成一个逆序，排列中所有逆序的个数称为逆序数. 例1 求 . 2）定义的应用 a) .二阶行列式. b) 行列式的某一项 例2 设. 求和的系数为多少. 含：. 的系数为：. 含： 的系数为： 2. 行列式的重要性质 1）. 2). 若行列式的某行（某列）有公因子.则可把公因子提到行列式外面. 3). 行列式的两行（两列）互换，其值变号. 4) 行列式的某行(某列)可以写成两数之和,则其行列式等于两个行列式之和 5). 把行列式的某行（某列）所有元素的倍数加到另一行（另一列）的相应元素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值. 3.行列式的展开定理. 为代数余子式，为余子式. 1). 行列展开原理的应用：计算时先用加减法使某些值变为零.然后再用展开法. 2). 代数余子式的组合值：它就等于在原来的行列式中把第行换成的行列式. 例3 设，计算的值. 解析： 4. 几个重要的公式. 1） 三角行列式: . 2) 准对角行列式：. . 3) 范德蒙德行列式： . 注： 范德蒙德行列式用来计算各行（或各列）称等比数列的行列式. 4） 5) 若为阶方阵, 为的特征值, 则且. 其中为多项式. 6) 若相似则且，其中为多项式. 题型一：数值型行列式的求解 1) 各行或各列中的元素成等比，则用范德蒙行列式求解. 2) 按行或按列展开降阶处理，只有1-2个非零元. 3) 三角形法. 注：计算过程中可能能用分块矩阵行列式的计算公式做简化计算. 例4 计算行列式. 解： （每列减第一列） 第二列加第四列得： 例5 计算行列式 补例：证明 法一：原行列式 注：三对角行列式用上面行依次消去下面的行. 法二：递推法 由行列展开定理有 当有符合条件. 假设时结论成立，则时有 结论也成立. 证毕. 例6 计算行列式 解： 例7求下面阶行列式的值 解：行列式的值 例8 求 解： 题型二：抽象型行列式的求解（本章的重点） 1)利用行列式的向量性质和矩阵性质求解. 2)利用矩阵的特征值求解. 例9 设是一个阶正交矩阵且求. 解： 例10 设矩阵其中均为三维向量，已知行列式求行列式 解析： 例11 已知 求方阵的行列式. 解： 例12 若三个阶矩阵均不可逆，求 解：由题意 0，-1，-2为的特征值 的特征值为-1，-4，5. 例13 设均为阶矩阵，求 解： 题型三：证明 1) 利用的等价条件： (a) (b) (c) 只有零解. 2) 反证法：假设矩阵可逆.. 例14 已知阶矩阵满足，证明不可逆但可逆. 证明：，的特征值全为1 第二章 矩 阵 1.矩阵与方阵：将个数排成行，列，两边画个括号，即形如 称为一个行列矩阵，若矩阵为方阵. 2. 矩阵的简单运算 1）设.则 2）数乘运算定义，. 3) 矩阵的乘法 设则.则. a) 矩阵的乘法有下列的性质： b)矩阵乘法的特殊性 (b1) 对于矩阵不能推出 故消去率也不成立. (b2) 对于矩阵不一定成立. 注：很多数字的计算公式在矩阵中不在成立, 如平方差公式. c) 矩阵的幂. 设是阶方阵，则可以自乘.个相乘为，则为的次幂.矩阵的幂有下面的性质：. . 3. 逆矩阵与伴随阵：对于两个矩阵满足，则称是的逆矩阵. 1) 可逆的矩阵成为可逆矩阵或非奇异矩阵，不可逆的称为不可逆阵或称为奇异矩阵.对于方阵有 . 2）伴随矩阵：. 重要性质是.故而. 2) 对于方阵，是的逆矩阵只要或即可.其中一个成立即可. 注：上面给出的逆矩阵公式只有理论价值，除了2阶方阵外一般不会用其计算， 4. 初等变换与矩阵 1) 初等行（列）变换：分两行互换（列）、一行（列）加上另一行（列）的倍数，一行（列）乘法一个非零常数. 2） 三种初等矩阵: 将单位阵进行初等行或列就可以得到初等矩阵. , 3) 对于一个矩阵进行初等行（列）变换，相等对此矩阵左（右）乘一个相应的初等矩阵. 4) 等价存在可逆矩阵使得 5） 初等变换法求矩阵的逆：. 注： 5. 分块矩阵：分成几块，将其看成小的矩阵相乘，每块的乘法也就矩阵相乘. 几个常见的分块： 为的解. 注：若, 则为为的解 2） 几个常见的公式 关于和. 这四个运算任意两个的运算顺序可以交换. 2) 关于的结论 a) , 当可逆时. b) 3) 关于矩阵的可逆性：. 4) 关于分块矩阵 a） b)，. 注： . 题型一：求矩阵的高次幂 1) 或，此时，故而. 2) 一般而言或用二项式定理. 3) 计算矩阵的低次幂，归纳规律求解，应用此方法的问题一般均有一定