2011级(下)第26次课.ppt

微分方程 第四节 一阶线性微分方程 一、线性方程 二、伯努利方程 三、小结 一、线性方程 二、伯努利方程 三、小结 第五节 全微分方程 一、全微分方程及其求法 二、积分因子法 三、一阶微分方程小结 一、全微分方程及其求法 二、积分因子法 三、一阶微分方程小结 * 上一页 下一页 返回 * 上方程称为齐次的. 上方程称为非齐次的. 线性的; 非线性的. 一阶线性微分方程的标准形式: 例如 齐次方程的通解为 1. 线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 (使用分离变量法) 2. 线性非齐次方程 讨论 两边积分 非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比: 常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换. 作变换 积分得 一阶线性非齐次微分方程的通解为: 对应齐次方程通解 非齐次方程特解 解 例1 例2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 . 两边求导得 解 解此微分方程 所求曲线为 伯努利(Bernoulli)方程的标准形式 方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程. 解法: 需经过变量代换化为线性微分方程. 求出通解后，将 代入即得 代入上式 解 例 3 例4 用适当的变量代换解下列微分方程: 解 所求通解为 解 分离变量法得 所求通解为 解 代入原式 分离变量法得 所求通解为 另解 1.齐次方程 2.线性非齐次方程 3.伯努利方程 1.定义: 则 若有全微分形式 例如 全微分方程 或恰当方程 所以是全微分方程. 2.解法: ?应用曲线积分与路径无关. 通解为 ? 用直接凑全微分的方法. 全微分方程 解 是全微分方程, 原方程的通解为 例1 解 是全微分方程, 将左端重新组合 原方程的通解为 例2 定义: 问题: 如何求方程的积分因子? 1.公式法: 求解不容易 特殊地: 2.观察法: 凭观察凑微分得到 常见的全微分表达式 可选用的积分因子有 解 例3 则原方程为 原方程的通解为 (公式法) 可积组合法