[管理学]线性代数第二节矩阵的运算.ppt

一、矩阵的加法 二、数与矩阵相乘 三、矩阵与矩阵相乘 四、矩阵的其它运算 五、小结 思考题 思考题解答 第二节 矩阵的运算 一、矩阵的加法 二、数与矩阵的乘法 三、矩阵的乘法 四、矩阵的其他运算 １、定义 设有两个 矩阵 那末矩阵 与 的和记作 ，规定为 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算. 例如 2、 矩阵加法的运算规律 1、定义 2、数乘矩阵的运算规律 矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算. （设 为 矩阵， 为数） １、定义 并把此乘积记作 设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个 矩阵 ，其中 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例１ 设 例2 故 解 注意　只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘. 例如 不存在. ２、矩阵乘法的运算规律 （其中 为数）; 若A是 阶矩阵，则 为A的 次幂，即 并且 注意　矩阵不满足交换律，即： 例 设 则 例4 在线性方程组 (2.2) 中，如果记 则（2.2）式可写成矩阵形式 相应的导出组可以写成 但也有例外，比如设 则有 例5 设矩阵 则AB和BA都有意义，但是 解 =( ） 解 例4 由此归纳出 用数学归纳法证明 当 时，显然成立. 假设 时成立，则 时， 所以对于任意的 都有 定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 . １、转置矩阵 转置矩阵的运算性质 例5 已知 解法1 解法2 2、方阵的行列式 定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 的行列式，记作 或 运算性质 性质（3）可推广到多个n阶矩阵相乘的场合，即 3、对称阵与伴随矩阵 定义 设 为 阶方阵，如果满足 ，即 那末 称为对称阵. 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等. 说明 定义 行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成的如下矩阵 性质 证明 则 称为矩阵 的伴随矩阵. 故 同理可得 矩阵运算 加法 数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘 转置矩阵 对称阵与伴随矩阵 方阵的行列式