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第六章信号与系统的复频域分析 6.0 引言 本章将讨论连续时间信号与系统拉普拉斯变换的分析方法。它的本质是把连续时间信号分解为est复指数信号的叠加，同时利用复指数信号est是LTI系统的特征函数，求出连续时间系统在复频域对输入信号的响应。 与连续时间傅里叶分析方法相比，拉氏变换分析方法扩大了信号变换的范围，在本质上可以看作是广义的傅里叶变换，可以用于一些傅里叶变换不能应用的重要方面，如系统的稳定性分析。 6.1.1 从傅立叶变换到拉普拉斯变换 6.1.1 从傅立叶变换到拉普拉斯变换 6.1.1 从傅立叶变换到拉普拉斯变换 6.1.2 拉氏变换的收敛域 拉氏变换对于 的范围有一定的选取，不同的选取范围将对应不同的信号。通常把能使信号x(t)的拉氏变换存在的s值的范围称为信号x(t)的收敛域（Region of Convergence），简记为ROC，在S域平面上常用阴影部分表示ROC。 当收敛域包含j?轴时，信号的傅里叶变换一定收敛。 例6.1 例6.1 例6.2 6.1.3 拉氏变换的几何表示：零极点图 许多信号x(t)的拉氏变换都可表示为有理函数的形式 改写为因子相乘的形式 其中，A为常数因子，zi与pj分别为使分子多项式和分母多项式为零的根。 6.1.3 拉氏变换的几何表示：零极点图 因为 故zi和pj分别称为X(s)的零点和极点。在S平面上分别用符号 和 表示零极点的位置，这个图形称为X(s)在S平面的零极点图。 X(s)可用它在S平面上的零极点图来表征。 例6.3 Matlab: 零极点计算 【例6-28】已知系统函数为 解：用Matlab求出系统的零极点，程序如下 Matlab: 零极点计算 Matlab: 零极点计算 另外一种实现方法 6.1.4 时域特性与拉氏变换收敛域的关系 x(t)的时域特性不仅仅取决于X(s)的代数表示，还与收敛域有关，仅有X(s)的代数表示式并不能惟一表征它所对应的时间信号。 本节将讨论X(s)收敛域的性质，X(s)的收敛域与信号x(t) 的时域特性之间的关系，收敛域边界的位置与X(s)极点之间的关系。 6.1.4 时域特性与拉氏变换收敛域的关系 性质1：连续时间信号x(t)的拉氏变换X(s)的收敛域在S平面上，由平行于j?轴的带状区域构成。 这是因为X(s)的收敛域是由那些能使 绝对可积的复数 的实部组成的,而与S的虚部无关，因此收敛域的边 界必然是平行于虚轴（j?）的直线。 性质2：对有理拉氏变换X(s)来说，在收敛域内不应包含任何极点，否则，如果在收敛域内有个极点，则X(s)在该点为无穷大，它就不可能收敛了。 6.1.4 时域特性与拉氏变换收敛域的关系 性质3：如果x(t)是时限的，则它的拉氏变换X(s)的收 敛域是整个S平面。 6.1.4 时域特性与拉氏变换收敛域的关系 6.1.4 时域特性与拉氏变换收敛域的关系 6.1.4 时域特性与拉氏变换收敛域的关系 6.1.4 时域特性与拉氏变换收敛域的关系 6.1.4 时域特性与拉氏变换收敛域的关系 6.1.4 时域特性与拉氏变换收敛域的关系 性质5：如果 是左边信号，且 存在，则 的收敛域一定在最左边极点的左边。 右边信号是指 时， 的信号。 6.1.4 时域特性与拉氏变换收敛域的关系 性质6：如果x(t)是双边信号，且X(s)存在，则X(s)的收 敛域一定是由S平面的一条带状域所组成。 选取任意时间t0将它分成一个左边信号x1(t)和一个右边信号x2(t)之和，如图所示。由性质4和性质5， x1(t)拉氏变换X1(s) 的收敛域： ；而x2(t)拉氏变换X2(s) 的收敛域： 由于x (t)的拉氏变换存在，故其收敛域一定为X1(s)与X2(s) 收敛域的公共部分。 如果X1(s)与X2(s)无公共部分，就意味着的x(t)拉氏变换不存在（不收敛）。 6.1.4 时域特性与拉氏变换收敛域的关系 6.1.4 时域特性与拉氏变换收敛域的关系 性质7 : 如果x(t)的拉氏变换X(s)是有理函数，则它的收敛域的边界由极点限定，或延伸到无穷远，且它的收敛域内不包含任何极点 例6.4 6.2 常用信号的拉氏变换对 1. 阶跃信号u(t) 2. 指数信号e-atu(t) 6.2 常用信号的拉氏变换对 3. 冲激信号 6.2 常用信号的拉氏变换对 4. tn (n是正整数) 6.2 常用信号的拉氏变换对 6.2 常用信号的拉氏变换对 5.