第6节电多极矩.ppt

* §6 电多极矩 问题的提出： 若空间存在一个带电体系，其电荷分布为 ，它在空间 点产生的电势为： 要想得到确切解，电荷分布： 1 有对称性。 2 区域边界形状规则。 对任意分布的电荷体系 ，通常无法找到确切解。 我们这一节所解决的问题： 1 小区域带电。 即电荷区域的线度小于场点到源点的距离。 2 取坐标原点在电荷区域内。 近似的将场点 的电势表示为多项式的和。每一项都是对前一项的近似修正。 趋近于确切值 一、电势的多极展开： 1、一元函数的泰勒展开（复习） 在自变量 的变化区域内有一个已知点 ，即在 附近 可看做小参量。 则此函数可以表示成无穷多项式在 点的展开式 展开宗量为 ，展开点为 函数 用一组多项式表示。 2、三元函数的泰勒展开： 设三元函数 ，宗量为 ，其中 是小参量，在 点附近， 的泰勒展开为： 当 3 电势的多极展开： 由 其中 满足 是小参量， 在 点附近可做泰勒展开 其中 带电体系的总电量 带电体系的总电偶极矩 带电体系的总电四极矩 二、电多极矩 1 零极矩 将全部电荷集中在原点 ，在远处 产生的电势。 电荷连续分布时，零级近似有误差。 分析误差：电荷连续分布时，零极近似的误差为连续分布的偶极子。 2 偶极矩——一级近似 代表一个电矩为 的偶极子在原点 时，在 点产生的电势。同样有误差。 分析误差：电荷连续分布时，偶极近似的误差为连续分布的四极子。 3 四极矩——二级近似 其中 代表一个集中于原点的电四极子在 点产生的电势。 关于 1）四极矩的分量式 即 说明 是对称张量，独立分量有6个。 2） 各个分量的物理意义： 举例：如图电荷系统的电四极子的四极矩： 显然这时 同理， 表示沿 轴分布的四极子。 同理， 表示沿 轴分布的四极子。 表示在 平面内分布的四极子。 3）重新定义 ： 定义 重新定义后 ，但独立分量的个数减少了，且保证 相等。 新的四极子的分量式： 可证 1） 仍然成立。 2）求 称为张量的迹。 新定义的 张量的迹为0，所以独立分量个数只有5个。 例：电荷球对称分布，求重新定义的 因为电荷球对称分布 同理 重新定义的好处是，当远区域的电势出现电四极矩时就表示电荷分布对球对称的偏离，从而可以对电荷分布做推论。 例：均匀带电的长形旋转椭球体，半长轴为 ，半短轴为 ，带总电荷 。求它的电四极矩和远处的电势。 解：远区的电势表示为： 第一项 已知，电势可求出 第二项 第三项 分别计算 可得出 只计算 得结果 同理 其中 *