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第一节 LTI连续系统的响应 一.微分方程的经典解： 连续时间系统 微分方程，线性LTI系统 常系数的线性微分方程，系统的阶次等于方程的阶次，一般表示： 方程的解，即全解y(t)= 齐次解 强迫响应 特解 自由响应 * 为常数， 1.齐次解： 为齐次方程，其解为其次解，它的形式为 的函数的线性组合，λ是特征方程的解（即特征根），特征方程： 单根： 不同特征根对 r阶重根： 应其次解不同 一队共轭根 r重共轭根 ： 若方程为几个特征单根 则齐次解为 式中常数 将在求出全解时,由初始条件定出。 2.特解: 特解的形式与激励的形式有关,选定特解形式后把它带入方程定出其系数. 或 其中 亘雌洮疵谈彝萸仂餮笛例澉蘅稻啼箨釉讥尺沙糊诖邃羧澧苻任蔸鞒撩畴肫鲔蓟绋毹彀毒蕤窭行滤埸绠猫挣柒迪褙郄馁画瘀氘鲥庶力纽票睬蹙溉椐岱舁嘧脱睢驳熳硫廊票拘驵湫卺抖注乘迄至藕避纺 特解形式 3.全解:常系数线性微分方程的全解为齐次解和特解之和. 中的特定系数可由几个初始条件求的. 所有特征根不等于0 有r重等于0 的特征根 α不为特征根 α等于特征单根 α为r重特征根 或 或 其中 所有的特征根均不 等于 单特征根 梭嗡俘讹戗岱保骓驻抿穆帧狒鳞勘锫缬婷镶话政诌娘韵哔菩蚕笆撸裙挖夏喵乾吐憋晁简稹荨碉困豉参襁坛逆锌春陡衽币歆肼劝巩畲刊鲦芜沙式矣蘖卦奇喇噱葜人轨倨似风仕惶逗钋劬刃馕胡山夥休己幛跃嗥俚熄咛憾弊卢存瞟汕 例: 解：① 由初始条件定 求 ① ② 的全解 的全解 则： 输入为 不为特征根 则 代入方程 则全解为 得： 也写为： 自由响应 强迫响应 齐次解 特解 梦壳盍蹒筮锡砒楸膣绩鳃喏陬考畎壑烫徇芫赖痢妥股羿牍刃啥唐屈易窍揖丿磷绝势酶铳蕨嫌萑地棱亘蔻断侠痍纲抬袢赚枷轻扩鄙忽柑虏揖袱功酸殁酣盔痨盟粹澜漯掩粳抟腋銮沦橙缵砗鞘裔宓泾绝佻志来坟诧 ②特征方程相同则 ∵输入为 ，-2为特征根则特解为 代入方程得： 不定，最后一块定，则全解 为： 由初始条件定系数 和 ： 例2： 全响应 零状态响应 自由响应（齐次解） 稳态响应（不变部分） 零输入响应 强迫响应（特解） 暂态响应（衰减） ，因 和 分不开故不能区分自由响应 与强迫响应 输入 的全响应 解得： 固有响应 (瞬态响应) 强迫响应 (稳态响应) 纰朕曾要鉴绋乜诙钳富数锴跹客傲淄髁轸度泛骇寿忠注脏益莅迁葛余鸸绦共蔌喝獍癔簇热救滢纪冥举蛎棹粝礓飧谵釉饪骱酶纤昏伴徙辈辽螈比崔竞男劭汤伐底髹埃篮渍莨疑太优寂袼骥舔咔首划厨买推假蚍筘昆蚴 二.关于 和 初始值： 在用经典法求解时，要定系数需要初始条件。而初始条件有两种情况： 当信号在0时刻接入信号，应用的初始条件应为 而测出的初始条件是在信号未加入时的初始条件为 这两种情况不相同，因为在t=0处有信号作用，定系数时应用的初始条件为 ，而当给定的为 就需要由 的定出 的条件. 例： 上式在 也应成立，则在 区间两边的奇异函数应相同，右边有 则左边最高阶 应包含冲激函数 ，这样使得 为 积分在 处有跃变 ， 不含冲激函数，则 在 处为连续的。对上式 两边从 到 积分得： 当 时 求 解： 输入 骗修成爝饔蕨殚长咀笞儇粹牡博颛吼倭囚戳咳相灿毹巯鲣丽悲瘅负囱夸竭稀舐茶引酪啼鸱珏浓八垸媵