第二、三节 行列式的性质及计算.ppt

第二节 行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 行列式 称为行列式 的转置行列式. 记 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 例如 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式. 推论　行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面． 性质４　行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零． 证明 性质5　若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和. 则D等于下列两个行列式之和： 例如 性质６　把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变． 例如 定理 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 证 由行列式的展开法则及行列式的性质,得 同理 相同 关于代数余子式的重要性质 例1 第三节 n 阶行列式的计算 (降阶法) 法二: (化为上、下三角形法) ＝40 例2 计算行列式 解 从第 4 行开始，后行减前行得， 解 这个行列式的特点是每一列的4个数之和都相等,我们可将其它各行都加到第一行。 例3 解 将第 都加到第一列，得 一般地，可以计算 你能很快说出它们的结果吗？ 提示: 将第 都加到第一列. 例 4 计算四阶行列式 解 按第 1 列展开，有 例5 计算四阶行列式 解 按第一行展开，有 对等式右端的两个 3 阶行列式都按第 3 行展开，得 解 按第一行展开，有 一般情况 以此作递推公式，即可得 证 用数学归纳法 例6 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 n-1阶范德蒙德行列式 要牢记范德蒙行列式的形式和结果,利用它计算行列式. 如： 例： 例7 计算 行列式 解 例8 证明 证明