第五章 分析力学　.ppt

第五章 分析力学;分析力学解题指导;1、处理有关约束问题时：在矢量力学中须用约束力代替约束条件，但往往由于约束力性质未知，所以事先既要讨论对它作出的某些假设，事后又常常要将它从方程中消去；分析力学在承认这些条件的前提下进行讨论，而不追问需要在何处用什么力来维持这些条件。这样，解题就会方便得多，这是分析力学的一个优点。 2、在建立运动微分方程时，在分析力学中可以根据统一的最小作用量原理求得。这样又极值原理所得方程与坐标系无关。当应用矢量力学寻找加速度时，尤其在空间问题中往往要用坐标系或柱坐标中的分量是去解题，这无疑给读者会带来一些困难，这也是在矢量力学中很少使用柱，球坐标系的原因（除非迫不得已）；而在分析力学中这个困难就不复存在。 ;3、在处理质点组问题时，矢量力学是将个别质点孤立出来，分析每个质点所受的力，再用牛顿定律建立它们的运动微分方程；而分析力学是将质点组看成一个整体，只需求出一个仅与各质点位置（速度）有关的标函数。单凭微分便能获得有关各力的知识，并得到整个质点组的运动微分方程。 4、分析力学是以普通原理为基础（微分或积分的方法），采用分析手段导出系统整体的基本运动微分方程，并研究这些方程本身及积分的方法，与数学的关联更加紧密。因此，线性常微分方程组及非线性微分方程经常会碰到，数学上求泛函数的极值方法则是分析力学中哈密顿原理的基础了。所以，具有高等数学知识的读者不难解决较复杂的力学问题。为了能更具体理解分析力学的解体方法，现将分析力学内容分五部分分别进行叙述。 ;[解题方法和要点] （一）虚功原理与达朗贝尔原理 虚功原理是关于力学系统平衡的一个普通原理，解题方法一般归纳为： 1、判别约束是否为理想约束； 2、找出主动力，及作用点； 3、确定自由度，并选择广义坐标； 4、由广义坐标和变换式把虚位移用广义坐标的变分来表示； 5、由虚功原理写出平衡方程，由于广义坐标的变分相互独立，所以可以较方便的求解。 达朗贝尔原理是力学体系动力学的一个普通方 程，它考虑的是运动而不是静力学问题。 ;由“运动”学 （ 主动力； 约束反力） 变为平衡类型 这样把动力学的问题转变为静力学问题处 理，这就是著名的“动静法”。由于变为平衡 方程，所以完全可按上述虚功原理方法解决 有关问题。虚功原理与达朗贝尔原理一起成 为分析力学的最普遍原理的理论基础。 ;(二)拉格朗日方程（一般形式与保守系） 作为力学系统的运动规律，利用广义坐标从动力学普遍方程推导出来的拉格朗日方程，对整个力学体系的运动提供了一个统一而普遍的解法。拉氏方程是完整理想的力学体系的最普遍的动力学方程，它给解决动力学问题提供了一个高度统一而又概括的方法。这种表述及其方法，不仅在力学范畴有重要意义和实用价值，而且为研究近代物理提供了必须的物理思想和数学技巧。 ; 拉格朗日方程用高度统一规律描述了力学系统动力学的运动规律，反映在： ①拉氏方程的形式不随广义坐标的选择而发生变化； ②对惯性系统和非惯性系，拉氏方程的形式都一样； ③拉氏方程中的广义坐标、广义速度、广义动量、广义动能都比牛顿力学中的坐标、速度、力、动量、动能具有更普遍的意义。拉氏方程概括了质点、质点组、刚体各种运动的动力学规律。 ; ④拉氏方程是从能的角度去研究问题。当系统的主动力为保守力系时，拉氏函数成为力学体系的特征函数； ⑤拉氏方程的个数与力学体系的约束条件有关。约束越多，方程数就越少，所以与牛顿力学比较，对多约束的力学体系，拉氏方程就愈能显示出它的优越性。但是拉氏方程的物理图象不如牛顿力学直观，这是它的不足之处。在应用拉格朗日方程解题时一般方法是： ;首先正确判断力学体系的自由度，并选择适当的广义坐标；。 判断是否是保守力场，从而决定选用方程类别；是保守力场时采用： 不是保守力场，或力场性质不明及不易判断情况下要采用一般形式的拉格朗日方程： 求出的速度一定要采用绝对速度。这是动能表达式中所需要的。在保守系力场中，确定体系势能时应先确定零势面。 ;求出的速度一定要采用绝对速度。这是动能表达式中所需要的。在保守系力场中，确定体系势能时应先确定零势面。 按广义坐标建立 个方程后，马上检查是否存在循环坐标（拉氏函数中不显含某一广义坐标 ，此为循坏坐标），马上就可以写出它的第一积分 ； 若采用一般形式的拉格朗日方程，就要求广义力。广义力的求法是： 按定义求： ; 其中 是作用在力学体系的第 个质点上的主动力， 是第 个指点的位矢。在完整系中，广义力 与广义坐标相对应，它们的个数都等于自由度数。广义力还可以写成： 将坐标变换式代入上