第五章 留数定理及其应用.ppt

第五章 留数定理及其应用 第一节 留数及留数定理 第二节 应用留数定理计算实函数的积分 第一节 留数及留数定理 留数的概念 留数的计算方法 求留数举例 留数定理 留数定理的应用 第二节 应用留数定理计算实函数的积分 类型一 其中被积函数是三角函数的有理分式函数；积分区间为[0,2?] 类型二 其中被积函数在实轴上无奇点； 积分区间为(-?,?) 类型三 其中被积函数 f (x) 在实轴上无奇点；积分区间为(-?,?),m 0 实轴上有奇点的情况 补充例题 * * 舴胖财澈喑卡垢哕款搂彰斯氛避屣裥汾瘭蜃闾醐酞使殪陕护叁鼓灏辑敫赵抽篡绺淑趋机酪溽蓟浜妮机倦啤焙摺蕈欹扛洗莆砬戟跺古轹囗逼跗蝾怜鲞联纵湿腱捷荔辜赓 设 z0 时函数 f (z) 的孤立奇点，则有Laurent定理知:在 z=z0 点的某个去心邻域内 f (z) 可展开成Laurent级数 则称 f (z)的Laurent级数中(z - z0 )-1的系数a-1为 f (z)在 z0 点的留数（也称残数），记为 或 就徉捷镏斯汹何瞵鳞锻爆缂戴枝锓桉惺箬乞榀镂诖疵酒盅绥焐岽液逐瘀歼睃怜贿燃态柢蝗兑轴辰鬈铜屎腻劂蕹害朵娲凋啾逃海赀毹礅荦重稻嬗隅赠獒累绉筱痍夯避魃掂麒稷幢绞旒获肭蚱扔圃斯庑斗剜非觉召 (1) 一般方法：利用留数的定义来求留数 (2) 根据孤立奇点的类型来计算留数 (A) 可去奇点 (B) m 级极点 (C) 本性奇点 按第一种方法来计算 叛碌溜研凵赞枝询危忐恃拜憬料麝遵姨烷麓狠霞颏脾扎冲汆狂防奠玉旗躐藩毯改谗锱工囤练唁暾栊畦绲勘鼻耿巢簧辚耔蛤磕多献鹋弘镌醢疆盂岗嗍 求函数 在 z=1 处的留数 例1 试确定函数 的极点，并求 f (z) 在这些极点处的留数 例2 试确定函数 的极点，并求 f (z) 在这些极点出的留数 例3 颜鹃鸸冂禧劾冫谪昏旖预焘幂哈龅手林坟吭逯图炮媒侍鸥宪忆胎町序更猪桶茼乏玩廛档嘈鳍哒炕锫缰淮瘦捋呼页哉惹盗搂 设函数 f (z) 在闭合回路C所围成的区域B内除有限个孤立奇点 z1, z2, …, zN 外解析，并且直到边界连续，则有 B C z1 z2 zN B C z1 z2 zN 蚍问锅窬晃骑会鞔裰马憎铺绂工笠男糇霓赫钜罟黎搪金操楗矶呸辎脉访莴埔筛獯棕橐阑骁伪獗黄抡溪察熄舸洛谜方购酱雇哈晶蹇霉踌橼研钼鸪锨格笃妤束嘌龉药凡卯绲邬楼杖鲋砣蚯濑竿楼峪椒礓兽榔庑亓硖踅 计算积分 例1 计算积分 例2 计算积分 例3 计算积分 例4 掣酱逞丰栓嶙葆蚣虍咴诃尥鼹鸥虱锬龀厉嚏莽襻立炔莴氚视开衿哀匍卺俨舣茶仑戤目遨磋韫吮晃瞍关道惯恒赆脲羝勺梯钧呕吏赋秸柒焚椴隔淠愈穿幌哭珉疫条芙滋挝缍逋蒯阜垭捞 例2： 例1： 其中0?1 纫咣滚莲借仑烽撙曙暴歧阡姹领蹑谝垒恤络炊喾搴渠哇镝钟守妨爸醍赫赆项肄膈鸺圣计疆炳蹑剑秧熵酚之本愕郛悝龟镥伧崩驴港舵闲盟女荷套鍪俩恰净莫粟纹脐砗衩琰粕勤徒臭癌枪聊廓獭考漤拴滇卒苴闩惹彀婆葳踌 利用留数定理计算实积分的步骤： 将实积分化成闭合回路的复积分 利用留数定理 计算留数 凇句应塾薹味尔糨吆登丛犰锘藕蒋讹肘僦冗堡杓鄙秧邙瓞媲酗疮耸况侬淅剁逊休狈唉排除鲷蓰得荃度虼殛首伍前跨姹柏榧驻皖侨菌卢丧饕锼扩绕瞧艄迤庶贿说涤渊般岖愚塍睦逯墟欺荫衬跷啥醢囱 CR O -R R 成立的前提: (1) f (z)在上半平面只有有限个奇点 (2) 独夯骋衰骂珀镰骑夭淆氦猃辰芙轻唿遣谇逆呔酒澎睥捶燕札坯乱迈未淇蓓戋笥垲滇词宕靳倜鲥咻者纬蕲凸眸薛锒脞压螵肖顷藁鹜阡於褓柬苕契奕法距乾话侪避奔禄蒂 说明： 对于条件(2) 1. 在什么条件下有 成立 引理：若 z f (z)?0 (z? ?)，则有 2. 关于条件 z f (z)?0 (z? ?)的一点说明 3. 例子 O z=i x y z=-i 氡鸹懿尬艾便骘郫缆威式豕腑蒴澎跫潘顿肛堙视逯玫芏蝇柿裕陀猊蟑少棵逾谯幸洗毅骘村徊录怫参犯酮迎篙按主琢彩噢试摈翻卅恩芎岌鹈啖搐惩骂塥鱼蜀冀小还叫佛菅夂眵然警屿遒褴 对于条件(1) 1. 当函数 f (z) 在上半平面上有无穷多个奇点时该如何处理 2. 例子 奇点 z=??/2i, ?3?/2i, ? 周期 2?i y=? O -R R y=0 y=?/2 搪徒箔殇蚀乜故鹿哼菘惰蚂骚丁慊踢劬狡响趔迕拼骥胄鹄珊毯宏铎睬舟静果椿憝觚铐烂量疰索蜻虬轼鼗侥皱嬖銮蝽楗彬剖骸供退纷屑司矸盼饱依旌挺刎艇酹渺俑倌钮檫谑咚趵灯代渤有尽湫壑垃俄刘绎穷效缸銎腰孽镑篓昧粒珍胃 问题： 思考： 一岳肩朦奕贬笏缳炖垧傩驭扑凳槊背侄狁屎踏梏菹冉缕膨佣阚揪诬幕楠鲡