第五章 线形代数方程组的解法.ppt

第五章 线形代数方程组的解法 5.1 线形代数方程组的直接解法 n 阶线形方程组: (5.1) 矩阵形式: 其中要求A非奇异. 解的判断 5.1.1 高斯消去法 5.1.1 高斯消去法 思想: 把矩阵A化为一个上三角矩阵，从而将原方程组约化为容易求解的等价三角方程组，再通过回代过程既可逐一求出各未知数. 方法: 逐列消元. 例: 矩阵形式: 增广矩阵: 对A的第一列消元, 进行行变换把A21, A31化为零: 对A的第二列消元, 进行行变换把A32化为零: 进一步: 计算x, 对于n阶方程组,增广矩阵为: 对第一列消元: 重新记为: 对第二列消元得到: 继续消元过程,最后得到: 计算x的值: 或者写成: 注1: 在消元过程中所有 不能为零. MATLAB程序: function x = gauss1(A,B) % gauss消去法解线性方程组Ax=B n = length(B); C = [A B]; for i = 1:n if C(i,i)~=0 C(i,:) = C(i,:)/C(i,i); for j = i+1:n C(j,:) = C(j,:)-C(j,i)*C(i,:); end else error(对角线元素为零); end end x(n) = C(n,n+1); for i=n-1:(-1):1 ss = C(i,i+1:end-1)*x(i+1:end); x(i) = C(i,n+1)-ss; end A=[2 3 1;1 1 1;1 -2 -1]; B=[9;4;-4]; x=gauss1(A,B) x = 1 2 1 A=[0 3 1;1 1 1;1 -2 -1]; x=gauss1(A,B) ??? Error using == gauss1 对角线元素为零 注2：在消元过程中，若 相对于该列中对角线以下的元素相比，其绝对值很小时，尽管消去运算可以进行下去，但是用其作除数，即使很小的舍入误差也会引起计算结果的严重扩散和失真。 例： 其准确到小数点后第9位的解为 但是若按照高斯消去法且在编程计算过程中采用4位浮点数求解，用第一个方程消去第二个方程的 ，得 回代以后解得 与我们的精确结果相比较，结果严重失真。其主要原因是除数太小，导致舍入误差增大，有效数字失效。若我们在消元前交换两个方程的位置，变为： 对上述方程组消元得到三角方程组 回代得解 5.1.2 高斯列主元消去法 优点: 解决直接消去法中 的问题. 提高计算精度. 方法: 消元过程中取该列中(尚未消元的行)绝对值最大的作为主元进行消元. 例: 增广矩阵: 对第一列找主元‘381’进行行变换: 消元: 对第二列选主元,消元 计算x 在消元过程中不会出现待消的某列全为零的情况,否则A奇异. 如: 方程: 得: A=[1e-16 2;1 1]; B=[2;3]; x=gauss1(A,B) x = 4.0000 1.0000 A\B ans = 2.0000 1.0000 高斯列主元消去法程序: function x = gauss2(A,B) % gauss列主元消去法解线性方程组Ax=B n = length(B); C = [A,B]; for i = 1:n c = abs(C(i:end,i)); k = find((c-max(c))==0); k = k(1)+i-1; Ci = C(i,:); C(i,:) = C(k,:); C(k,:) = Ci; if C(i,i)~=0 C(i,:) = C(i,:)/C(i,i); for j = i+1:n C(j,:) = C(j,:)-C(j,i)*C(i,:); end else error(矩阵A奇异); end end x(n) = C(n,n+1); for i=n-1:(-1):1 ss = C(i,i+1:end-1)*x(i+1:end); x(i) = C(i,n+1)-ss; end find()函数: 找出非零元