第五章+曲线曲面全.ppt

第六章 曲线与曲面 自由曲线曲面的发展过程 6.1 曲线和曲面基础 6.1.1 曲线的表示 1.非参数表示 显式表示 对于一条曲线，如果一个坐标变量能够显式地表示为另一个变量的函数，就得到了该曲线的显式表示。平面曲线显式表示的一般形式是 一条直线方程 在显式表示中，每一个x值只对应一个y值，所以用显式方程不能表示封闭或多值曲线，例如不能用显式方程表示一个圆。 对曲线曲面，参数表示比非参数表示更优越： 6.2 二次插值样条曲线 6.2.1 二次插值样条曲线的数学表达式 6.1.3三次参数曲线的多项式表示 6.2 Hermite样条曲线 ? 通常将T ?Mh称为Hermite基函数（或称混合函数，调和函数）：? 6.3 Cardinal样条曲线 6.4 Bézier曲线 1．一次Bezier曲线(n=1) ? 2．二次Bezier曲线(n=2) ? ? 3．三次Bezier曲线(n=3) ? ? ? ? ? 6.4.2 Bézier曲线的性质 （3）仿射不变性 Bézier曲线具有仿射不变性，也就是说Bézier曲线的形状和位置仅与它的控制顶点的位置有关，而与仿射坐标系的选择无关。仿射不变性的含义可解释如下： 6.4.3 Bezier曲线生成算法 6.4.4 Bézier曲线的其他性质 6.5 Bezier曲面 1．Bezier曲面 定义： ? 3．双三次Bezier曲面(m=n=3) ? 其中 5.6 B样条曲线曲面 Bezier曲线的不足： 一 控制多边形的顶点个数决定了Bezier曲线的阶次 二 不能作局部修改 5.6.1 B样条曲线的定义 5.5.2 二次B样条曲线 5.5.3 三次B样条曲线 5.5.6 三次B样条曲线的算法源程序 6.6.1 B样条曲线的定义 定义： ? 节点矢量：节点矢量分为三种类型：均匀的，开放均匀的和非均匀的。 当节点沿参数轴均匀等距分布，即tk+1-tk=常数时，表示均匀B样条函数。 当节点沿参数轴的分布不等距，即(tk+1-tk)≠常数时，表示非均匀B样条函数。 1．均匀周期性B样条曲线 T=(-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2) T=(0,1,2,3,4,5,6,7) 均匀B样条的基函数呈周期性： 每个后继基函数仅仅是前面函数平移的结果. 均匀一次（二阶）B样条曲线 均匀一次（二阶）B样条曲线 均匀二次（三阶）B样条曲线 取n=3，m=3，则n+m=6，不妨设节点矢量为：T=(0,1,2,3,4,5,6)： ? 均匀二次（三阶）B样条曲线 均匀二次（三阶）B样条曲线 三次（四阶）周期性B样条 取m=4，n=3，节点矢量为：T=(0,1,2,3,4,5,6,7)： 三次（四阶）周期性B样条 三次（四阶）周期性B样条 ? 2．开放均匀B样条曲线 均匀B样条曲线的起点和终点不是控制点的起点和终点，三次以上（含三次）均匀B样条曲线在起点和终点处不与控制图相切。这就使得设计人员无法直观地控制均匀B样条曲线的起点和终点，采用开放均匀B样条曲线可以解决这一问题。 开放均匀节点矢量可以这样定义： 令L=n-m，从0开始，按ti≤ti+1排列。 ? 开放均匀的二次（三阶）B样条曲线 假设m=3，n=4，节点矢量为：T=(t0 ,t1,?,tn+m) =(t0 ,t1, t2, t3, t4, t5, t6, t7) =(0,0,0,1,2, 3,3,3)。 3．非均匀B样条曲线 ? ? 令t=t-i 得到 华中科技大学计算机学院 陆枫 曲线段Qi的起点和终点分别为 Qi(0)=1/6(Pi-3+4Pi-2+Pi-1) Qi(1)=1/6(Pi-2+4Pi-1+Pi) 起点和终点处切向量分别为 Qi’(0)=1/2(Pi-1-Pi-3) Qi’(1)=1/2(Pi-Pi-2) 起点和终点处二阶导数向量分别为 Qi’’(0)=(Pi-3-2Pi-2+Pi-1) Qi’’(1)=(Pi-2-2Pi-1+Pi) 三次（四阶）均匀B样条曲线 一条三次（四阶）均匀B样条曲线，整条曲线为C2连续。 由以上的三对式子说明：二次B样条曲线段的起点P（0）在B特征多边形第一条边的中点处，且其切向量B1–B0即为第一条边的走向；终点P(1)在B持征多边形线第二条边的中点处，且其切向量B2–B1即为第二条边的走向。而且， P（ ）正是△P(0)B1P(1)的中线B1M 的中点，且在P（ ）处的 切线平行于 。因此， 分段二次B样条曲线是一条 抛物线。见图5.17所示。 图5.1