第五讲 微分方程10.ppt

%程序 chase1 clear x=0:0.01:1; y=-5*(1-x).^(4/5)/8+5*(1-x).^(6/5)/12+5/24; plot(x,y,*) 分析: (1) 先编写并保存一个名为exam3.m的函数M文件 function dyx=exam3(x,y) dyx=zeros(3,1) dyx(1)=y(2) dyx(2)=y(3) dyx(3)=2*x (2) 在命令窗口输入代码 [x,y]=ode23(exam3,[1 , 3],[0,2,-1]); y1=dsolve(D3y=2*x,y(1)=0,Dy(1)=2,D2y(1)=-1,x) plot(x,y(:,1),r,x,y2,g) y1=1/12*x^4-x^2+11/3*x-11/4 %y1为符号表达式 y2= 1/12*x.^4-x.^2+11/3.*x-11/4 %y2为数值表达式 在区间[1,3]的图形 在区间[1,7]的图形 可看出数值解在区间[1,2]比较接近准确值 导弹追踪问题 设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰.如果乙舰以最大的速度v0(是常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程.又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？ 解法一（解析法） 四、数学建模实例 由(1),(2)消去t整理得模型: 轨迹图见程序chase1 这里的导数都 是关于x求导 基本内容 1、数学理论复习 2、用MATLAB求微分方程的解析解. 4、 数学建模实例 3、用MATLAB求微分方程的数值解. 例 (一)微分方程基本概念 偏微分方程:含有多个未知自变量的微分方程 常微分方程:只含有一个未知自变量的微分方程 微分方程—— 联系自变量、未知函数及其导数(或微分)之间关系、含有未知函数的导数或微分的方程。 一、数学理论复习 例 (2)通解: n阶微分方程常用的解的形式： (1)特解: 微分方程的解——代入微分方程能使之成为恒等式的函数. 确定的函数； 含有n个独立的任意常数。 隐式形式： 显式形式： 微分方程的阶—— 微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数. (二)常微分方程数值解的定义 在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解。而在实际上对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式。 因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的。 (三)建立数值解法的一些途径 1、用差商代替导数 若步长h较小，则有 故有公式： 此即欧拉法。 2、使用数值积分 对方程y’=f(x,y), 两边由xi到xi+1积分，并利用梯形公式，有： 实际应用时，与欧拉公式结合使用： 此即改进的欧拉法。 故有公式： 3、使用泰勒公式 以此方法为基础，有龙格-库塔法、线性多步法等方法。 4、数值公式的精度 当一个数值公式的截断误差可表示为O（hk+1）时（k为正整数，h为步长），称它是一个k阶公式。 k越大，则数值公式的精度越高。 欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式。 龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式。 线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式。 二、用MATLAB求微分方程的解析解 求微分方程（组）的解析解命令: dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’) 结 果：tan(t+C1) 记号: 在表达微分方程时，用字母D表示求微分，D2、D3等 表示求高阶微分.任何D后所跟的字母为因变量，自变量可以指 定或由系统规则选定为确省(默认自变量为t). 解 输入及结果如下： y1=dsolve(Dy=2*x) y1=2*x*t+C1 y2=dsolve(Dy=2*x,x) y2=x^2+C1 y3=dsolve(Dy-2*x=0,x); y4=dsolve(Dy-2*x,x); [x,y,z]=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t); x=simple(x) % 将x化简 结果不变 仅仅说明一下simple作用 y=simple(y) z=simple(z) 解 输入如下： 解 输入及结果如下： y1=dsolve(y^2+x^2*Dy=x*y*Dy,x) y1=exp(-lambertw(-1/exp(C1)/x)-C1) y2=dsolve(Dy=y^2/(x*y-x^2),x) y2=exp(-l