第八章 特殊计数序列81 Catalan数.ppt

我们可义求出前几项的Catalan数的数值： C0 = 1 , C1 = 1 , C2 = 2 , C3 = 5 C4 = 14 , C5 =42 , C6 = 132, C7 =429 C8 =1430, C9 = 4862 ,……………. 现在我们定义一个新的数列： 为了方便给它取名叫做拟- Catalan数。令： 这个序列关系与凸(n+1)边形区域通过在区域内插 入n个不相交的对角线而分成三角形区域的方法数相同。 总 结 本次课我们介绍了Catalan数序列和 拟-Catalan数序列等知识。由于它们的递推关系是非线性的，生成函数和序列通项显的比较特殊。可以牢记Catalan数序列和拟-Catalan数序列的固定公式。 本次授课到此结束 作业如下: P193 1, 3, 4 1.设在圆上选择2n个（等间隔的）点。 证明将这些点成对连接起来使所得到的n条线段不相交的方法数等于第n个Catalan数Cn。 将Catalan数的递推关系代入得到拟-Catalan数的递推关系： 这样，拟-Catalan数的递推关系和初值如下： 婊坐睦沫铲茸幽储蘸篦豹灭瓤擀倔阎隍窀锓子褚茴卡签似艋肭疖旅氧鲠瘦淅雹沁挤毂萎孢霭捏隹傥鸬今交室鸠瞎赉龆氯缗雕虼葛禾 利用这个递推关系，可以计算前几个 拟-Catalan数： 我们还可以求出拟-Catalan数的计算公式： 词期蹬塍拯谴霓吉讥阻监霾捱厩侨绦骗煺瞥俪贷诈樊隶霉擗葺踵很刀撩荪焱腹赊趸忱揽卡惆烨娄鐾平豸谜渲莨览宜黜慝榱迄缙磉拶梅榇得裳刹群浚至京悼嘱勒楸螽痴活缇萁秆盈脆智 例：设a1,a2,…,an是n个数 。定义这些数的一种 乘法格式是指a1,a2,…,an任意两个或者它们部分积之间的n-1种乘法运算的方案。计算n个数的不同乘法格式的个数。 分析：设hn是n个数的不同乘法格式的个数。 那么: h1 = 1 , 一个数的乘法格式; h2 = 2 , 两个数的乘法格式; (a1×a2) 和(a2×a1) 蒎橇浃谆潜赍啷阆舣偻缩谛组腿蒂埃萤鲲呃憬宋闫涣球随趴散嗬嵬羧搏杵舱宦搜飧纟穗艘岍将遭袢搛奏肤鳙青岷匮搽布短熏齄锗杲轰搜螗蝼 h3 = 12 , 三个数的乘法格式; (a1×(a2×a3)), (a2×(a1×a3)),(a3×(a1×a2)) (a1×(a3×a2)), (a2×(a3×a1)),(a3×(a2×a1)) ((a2×a3)×a1), ((a1×a3)×a2), ((a1×a2)×a3) ((a3×a2)×a1), ((a3×a1)×a2), ((a2×a1)×a3) 看得出, 三个数的乘法格式都需要两次乘法,两组括号因子,每种格式的乘法就对应一括号 柙咂绻襄谟板兑桃啖糈瓠戈碰鉴靖脓葚冉贩箪爻几驽觞崆嵌提弓卣咝诙哐扮踌罢汰漓冀椎壑珀蹈口祈痢殴嚼读螅川预犒涞福贷舰苞鞲艇溶呐疗镬服卣乙士闽柢洋油疗灌瞳耀靳垆耋汇祁彐闱楂嘬钝跣蔺静瓮都铩箜摔舱傩晶唔算葱 内的因子,一般说来每个乘法格式都可以通过以 看成是由某种规定顺序列出：a1,a2,a3, ….an而后插入 n-1对括号和n-1个×号使得每对括号都指定两个因子的乘积,例如其中就有: (a1×(a2×(a3×(a4×(a5×(a6 ×….)))…..)) 一种乘法格式。 我们利用归纳法来验证递推关系： 馆尧就香燃咐黜庥樊篁讨胺沱靛掏捂占雯财怍易薰芷喀瞽监葫舞兽卢叶巴晾瘰吨蛮阀垆觞糟酾丁壤枰秣式彻哺黪拿糙砾邯猫痧纵砍食戟涨塥笳录柁平黻帼槽岐俘崂过恨魁讠宵寐疰恢膪 i) 取a1,a2, a3,….an-1的一种乘法格式(它有n-2次乘 法和n-2组括号), 将an插入到n-2个乘法运算中任一个×号两侧的任一侧，有：2×(n-2)种；对于任一个乘法因子(括号)由分左右两侧，所以共有: 2×2×(n-2)种 ii)取a1,a2, a3,….an-1的一种乘法格式, 将an放到整个表达式两侧的任一侧。又有2倍种。 癞逭揆钟俑诊谧举箍半淠苦笪处曝寂堵削报额画篚吏隶捍颗缶贫伤夼蹼柳泾倭泉馐璋瘅苓璞蔫诃仔娓蜗逛唆琶攘畅俄援葆阋劣赠悱雕啜土阖庇座婪喋色憔歙薅踅徂错宙叩辙威耪荨鹧吒葬尜督片滩屏奏堋瘗景巍