第八章_非线性系统.ppt

第八章 非线性控制系统 Nonlinear Control System 内容提要 §8.1 概述 §8.2 相平面图 §8.3 奇点和极限环 §8.4 非线性系统的相平面图分析 §8.5 非线性特性的描述函数 §8.6 用描述函数分析非线性系统 §8.1 概述 典型非线性特性 非线性系统的运动特点 非线性系统的研究方法 三、非线性系统的研究方法 相平面法(Phase-plane technique) 适用于一阶、二阶系统 描述函数法(Describing function technique) 是一种等效线性化方法 计算机仿真(Computer simulation) ??? 等倾线法是求取相轨迹的一种作图方法，不需求解微分方程。对于求解困难的非线性微分方程，图解方法显得尤为实用。??? 基本思想：用有限段短的直线逼近相轨迹，而这些短线的斜率等于相应位置的相轨迹的斜率。 先确定相轨迹的等倾线，进而绘出相轨迹的切线方向场，然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相轨迹。 相轨迹的绘制过程如下：  1.在相平面画等傾线（实线）。 2.在等倾线上画矢量，表示相轨迹在通过该等傾线时的方向，矢量的斜率等于给定相轨迹的斜率a。 3.由初始点出发，按矢量方向作一条小线段，并与相邻一 条等倾线相交；由该交点起，并按该交点矢量方向作一条小线段，再与其相邻的一条等倾线相交；循此步骤依次进行，就可以获得一条从初始点出了，由各小线段组成的折线，最后对该折线作光滑处理，即得到所求系统的相轨迹。  线性二阶系统的轨迹 线性二阶系统的奇点 对于非线性系统的各个平衡点，若描述非线性过程的非线性函数解析时，可以通过平衡点处的线性化方程，基于线性系统特征根的分布，确定奇点的类型，进而确定平衡点附近相轨迹的运动形式。当非线性方程在某个区域可以表示为线性微分方程时，则奇点类型决定该区域系统运动的形式。若对应的奇点位于本区域内，则称为实奇点；若对应的奇点位于其它区域，则称为虚奇点。  （2）奇线 当非线性系统存在多个奇点时，奇点类型只决定奇点附近相轨迹的运动形式，而整个系统的相轨迹，特别是离奇点较远的部分，还取决于多个奇点的共同作用，有的会产生特殊的相轨迹，将相平面划分为具有不同运动特点的多个区域。这种特殊的相轨迹称为奇线。最常见的奇线是极限环。极限环把相平面的某个区域划分为内部平面和外部平面两部分。 ??? 极限环是非线性系统中的特有现象，它只发生在非守恒系统中，产生的原因是由于系统中非线性的作用，使得系统能从非周期性的能源中获取能量，从而维持周期运动形式。??? 根据极限环邻近相轨迹的运动特点，可将极限环分为三种类型： 0 x(t) X π 2 π π - φ 1 φ 1 ω t x(t)= Xsinwt 输出 y(t) k 输入 x(t) Δ 0 -Δ k π 2 π 0 φ 1 π - φ 1 y(t) ω t y(t) y1(t)= Y1sinwt (二)死区非线性 非线性的输出 死区非线性的描述函数为 mh M -M -mh h -h y(t) x(t) 0 π 2 π 0 x(t) X ω t x(t)= Xsinwt j3 j1 j2 j4 π 2 π y(t) ω t y(t) y1(t)= Y1sin(wt +j1) 0 j3 j4 j2 j1 (三)具有死区和滞环的继电器型非线性 设系统方程为 得等倾线方程： 令 = a dx d x . / x . a=-1 a=-1.2 a=-1.4 a=-1.6 a=-1.8 a=-2 a=-2.5 a=-3 a=-4 a=-6 a=-11 a=9 a=4 a=2 a=1 a=0.5 a=0 a=-0.2 a=-0.4 a=-1 x A B C D E 改写为： 例8.2 x x . 解： + a + x=0 x . . x . - a + x=0 x . . x . x . 0 x . 0 的相平面图 求 + a | |+ x=0 x . . x . 上半平面的等倾线方程： x . 1 a+ a =- x 特征根： 相轨迹方程 等倾线方程 即等倾线是通过原点的直线。 (1) 0＜x ＜1 jω σ 两个实部为负的共轭复根 相轨迹 (2) 0＞x ＞-1 两个实部为正的共轭复根 jω σ 相轨迹 (3) x ＞1 两个负实根 jω σ 相轨迹 (4) x ＜-1 两个正实根 σ jω 相轨迹 (5) x ＝0 两个实部为零的共轭