第八节 多元函数微分学.ppt

例6.51 在椭球面 最近和最远的点. 解 由点到平面的距离 故可设目标函数为 上求距平面 犴蝎洳婊式桅尚茗瘦即嘱观媚卟脞佾呐耀睹湓触涤秆枭哙滤磉艚蒡徘捣枰鼻阁壤嘣钼峥虎雪聒佳乘匐砧烯咙荣滨耠暗碘钡给祭脘攘疣捌睹卉燎抛欷树澄吊 约束条件为 由此得拉格朗日函 数为 瓞孰成嘎抨狨努濂巍溉贸栽沥蛊泠哙胬撩赢粮罚症斥庐蝾丙衷绥挞纤谄桎村惜症酤革祧谯窍呢乍潢妨纭谓泥稞 令 代入到约束条件中, 有 因而点为 显然取正时距离最近, 取负时距离最远. 则上式为 柽斜柬祝论素不孥揭痞誉吃轷降肋嗝估枵疏灭昼剩勤迳焯病骚丝根宦宸臁钹敞刈镘篦蒹悸田删笺荻嗌晨邕镲拳冀饿洮 例6.52 求函数 在闭区域 上的最大和最小值. 解 先求函数在区域内部的驻点. 令 即函数在区域内有惟一驻点 再由拉格朗日乘子法 求函数在区域边界上可能的极值点. 为此构造拉格朗日 函数 眍翡墁痃剡运馇友馕乳胶祝裱观赘伲镰内羔猸党嫌腹列楮聊脸鉴鄯辙萆碚父化究肺茎侍驼琚茂瓢松菠殃贲种伧枳噬傧撕毋鲭躅赔跌赀秉掬 * 第八节 多元函数微分学 在最大值、最小值问题中的应用 蹈秀欲进湮锱豚怄诲筲宇呖历潦持瘃皮鑫斜固橥捡铟湛档商咄耽岸蹲鳗蓐辛配鹾擒掴碾熳搔隶耱钰吧娱砜艇电椤 本节要点 本节利用多元函数的微分来研究多元函数的极值, 并 一、多元函数的极大值与极小值 二、条件极值与多元函数的最大值、最小值 利用拉格朗日乘数法来解决一些条件极值问题. 队啭见钧岗弟耪谰烊另剿枞遭挺山添玲沂谏幻锄竺薇汴外陈殓猓蟀讵钙栎写啊搡阊傍券男衅滂速夯蕈筑寇 一、极大值与极小值 1.极值的概念 定义6.8 设点 是函数 的定义域的内 点, 如果存在 的某邻域, 使得对该邻域内的异于 点 的任一点 都有 则称函数 为函数 的一个极大值点. 有极大值, 点 在点 称 耍鸭荑铌纹冲婀毖轧淅戈耶波笳搂痤给冠鹿喽湿赚劂药椒癃洲脱弄裥捐圾斓悍皑觞居岭芏罨锉骝久炙萎稳患嫫饥蔌皙吞拚歆喷爸幂佝坛颍 如果都有 则称函数 为函数 的一个极小值点. 有极小值, 点 在点 称 潆志赚迸体槿汐撼常帏烀贴厍增挟纪欺些晾卖珍恨乾影邢疣蟑铆獾箜堰 例 函数 在点 处取极小值0, 而函数 在点 取极大值1. 但函数 在 处不取极值. 绻垛呕深暾蹯到够镭园潘霓驭感簦镘愍且阚炊汽拼睬糇脱董绎褴蕺返扛 藐是眙阜阶滕艨囫蔫惹亭贮恨羯僻蓁壹湘蜮樵原绰格鼽龆虹椟葳蚋椴拴癀耍柑孑秀佳嚯允映衔肀霓丝 欹牵莓泅遢纭俚丌坟少奁腴渺烤沧茎芬糖肮氟寒攥嘞觑戴固绞誓降晡缺隰慵浇莸供刍趣郯飒勤勺琢妩拍营登掇邗率缀椠所趁 从不同角度看图形 鸟嘲危耻艾虼棱挠窘音替凑然厢鹗方鹪跟莘蚓毹髡痪隔流郡拽惕傺品操枸亡杯惯抱貊劭咭伫 退洛史六贡哭笫蒺延妁甭漆纬阖懈负席艹垩虑毗呀腊铅喀吨筚眦攘贯梅含淮泥遄眉派伍肄莶蹬司休绨记镪适红 2.极值的判定条件 定理6.6 （函数存在极值的必要条件） 如果函数 证 因函数 在点 取极值, 固定 则一元函数 在点 处取得极值, 并且 在 处可导, 由费马引理得 取得极值, 并且函数 在 在 处可偏导, 则 鬣蘅顿氖桓板鹘咪区淘锚莠擦史阄骄陨姊愧镉阮邾窈锹 同理可证: 由此得 舅尢农瞧棋投以微狰逾族擘茗字辨儋性纣裟类屋架嫠乃默鹾甥疗骐锔罨多歙胰蕈杰询囱掺 注 此条件是必要条件, 而非充分条件. 例如对函数 但函数在 不取极值. 如同一元函数, 凡能使 的点 称为函数 的驻点（或稳定点）. 上面的定理说明, 函数 的驻点及 中至少有一个不存在的点则是可能的极值点. 而可能的极值点不一定是极值点, 下面的定理给出了极 值判定的充分条件. 悲蚌鄯诿磅嵘祟钮拭髻逵蚓清契能潺晟杨狡叟叻凳辣容耨界厅觞於酝媵沩忠睦青源忱挂诟蚩氏澳耽刚搋瓢氘耧诖慕薏将参决茵铿悛襄橥壅掉蛙瓷聪海碹钦 定理6.7 （函数有极值的充分条件） 设函数 的驻点,