第十一章习题课曲线曲面积分.ppt

习题课 1．理解两类曲线和曲面积分的概念，了解两类积分的性质以及两类积分的关系。 1.曲线积分的计算——化为定积分计算 （1）对弧长（第一型） （2）对坐标（第二型） 设L： 2．曲面积分的计算（化为二重积分） （2）对坐标（第二型）的曲面积分 若 上侧，则 四、曲线积分的计算法 解答提示: P246 3(3). 计算 P246 3(6). 计算 2. 基本技巧 例1. 计算 例2. 计算 解法2 思考题解答: 例3. 设在上半平面 练习题: P246 题 3(5) ; P247 题 6; 11. P247 6 . P247 11. 例4. 五、曲面积分的计算法 思 考 题 2. 基本技巧 练习: *例5. 计算曲面积分 *例6. 设 ? 是曲面 作业 备用题 1. 已知平面区域 2. 地球的一个侦察卫星携带的广角高分辨率摄象机 (1) 利用球坐标, 任一固定时刻监视的地球表面积为 (1) 利用球坐标, 任一固定时刻监视的地球表面积为 P246 题4(3) 其中? 为半球面 的上侧. 且取下侧 , 原式 = P246 题4(2) , P247题 10 同样可利用高斯公式计算. 记半球域为 ? , 高斯公式有 计算 提示: 以半球底面 为辅助面, 利用 其中, 解: 思考: 本题 ? 改为椭球面 时, 应如何 计算 ? 提示: 在椭球面内作辅助小球面 内侧, 然后用高斯公式 . 解: 取足够小的正数 ? , 作曲面 取下侧 使其包在 ? 内, 为 xOy 平面上夹于 之间的部分, 且取下侧 , 取上侧, 计算 则 第二项添加辅助面, 再用高斯公式, 注意曲面的方向 ! 得 P246 3 (2) , (4) ; 4 (2) 5 ; 9 L为D 的边界, 试证 证: (1) 根据格林公式 ① ② 所以相等, 从而 左端相等, 即(1)成立. (2003 考研) 因①、②两式右端积分具有轮换对称性, (2) 由①式 由轮换对称性 (1) 在任一固定时刻 , 此卫星能监视的地球表面积是 能监视其”视线”所及地球表面的每一处的景象并摄像, 若地球半径为R , 卫星距地球表面高度为 H =0.25 R , 卫星绕地球一周的时间为 T , 试求 (2) 在 解: 如图建立坐标系. 的时间内 , 卫星监视的地球 表面积是多少 ? 多少 ? 设卫星绕 y 轴旋转 (2) 在 时间内监视的地球表面积为 注意盲区与重复部分 其中S0 为盲区面积 (2) 在 其中盲区面积 时间内监视的地球表面积为 练1 计算 。 补练 典型题目 * 四、 曲线积分的计算法 五、曲面积分的计算法 线面积分的计算 第十一章 一、基本要求 二、要点回顾 三、问题与思考 5．会用曲线积分和曲面积分求一些几何量 与物理量（弧长﹑质量﹑重心﹑转动惯量﹑ 引力、功和流量等）。 4.了解高斯公式，并会用高斯公式求曲面积分。 3．掌握格林公式并会运用平面曲线积分 与路径无关的条件。 2．掌握计算两类曲线、曲面积分的方法。 一 基本要求 弧微分 设L： 二.要点回顾 （1）对面积（第一型）的曲面积分 若 若 下侧，则 3.格林公式——平面上曲线积分与二重积分的关系： （1）曲线积分与路径无关的条件 L正向. 以及等价关系. （2）添加曲线使积分曲线弧段成为闭曲线， 利用格林公式求曲线积分. 4.高斯公式—— 曲面积分与三重积分的关系 问题1 下列运算正确吗？ 三、问题与思考 解 （1）正确. (2) 错误，因为二重积分的积分包括圆的边界 和内部，正确的是 问题2.如何正确理解两类曲线积分和曲面积分的概念？ 答：由于实际需要，曲线积分与曲面积分为两种类型， 有关质量﹑重心﹑转动惯量等数量积分问题导出第一 类线面积分；有关变力作功、流体流过曲面的流量等 向量问题导出第二类线、面积分。 前者被积函数化为数量函数沿区域积分，无需考虑 方向性，而后者被积函数是向量函数，必须考虑方向。 因此，一个函数的积分可以由积分区域的有向或无向 分为两种类型的积分， 在所学过的积分中 区域无向的积分有： 重积分﹑第一类曲线积分和第一类曲面积分； 区域有向的积分有： 定积分﹑第二类曲线积分和第二类曲面积分. 曲线的方向是由起点到终点（定积分）或切向量 的方向来确定，曲面的方向则由曲面上点的法向量所 指向的侧来确定. 1. 基本方法 曲线积分 第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 )