第十次课 向量组的秩.ppt

§4.3 向量组的秩 极大无关组性质2 例5 试求向量组的一个极大线性无关组，并用它表示其它向量． 得R（B）=2， B的前两列是它的一个极大无关组。 P94定义4.6 设有向量组 A: ， 如果 1）A中有 r 个向量 是线性无关的； 2）A中的任何r+1个向量都线性相关． 称向量组 为A的一个极大线性无关组 。 在向量组 a1=(0, 1)，a2=(1, 0)，a3=(1, 1)，a4=(0, 2)中， 向量组 a1=(0, 1)， a2=(1, 0)线性无关，且有任意三个向量线性相关 同样a2，a4以及a3，a4也是一个极大无关组。 所以 a1，a2 是向量组 a1，a2，a3，a4 的一个极大无关组。 例1． 下页 2．一个向量组的极大无关组不一定唯一 3．线性无关向量组的极大无关组就是其本身 1）A中有 r个向量 是线性无关的； 2）A中的任何一个向量都可由这r个向量线性表示． 4. 只含零向量的向量组没有极大无关组 例2．全体 n 维行向量构成的向量组记作 Rn ， 问题:Rn 中极大无关组所含向量的个数是多少? n维单位坐标向量组 e1=(1, 0, ???, 0)，e2=(0, 1, ???, 0)， ??? ，en =(0, 0, ???, 1)是Rn的一个极大无关组。 说明 1.含有非零向量的向量组总存在极大线性无关组 1）A中有 r个向量 是线性无关的； 定义1 ／ 设有向量组A： ，如果 2）A中的任何一个向量都可由这r个向量线性表示． 则称向量组 量组A的一个极大线性无关 向量组．简称为极大无关组。 定义1 设有向量 A: ， 如果 1）A中有 r个向量 是线性无关的； 2）A中的任何r+1个向量都线性相关． 则称向量组 为A的一个极大线性无关组 。 P91定义4.5 性质1、 任何向量组与其极大无关组等价 证明： 所以T≌T’。 结束 一个向量组的任意两个极大无关组是等价的。 性质3 向量组的任意两个极大无关组所含向量个数相等。 证明: 反证法 定义3 向量组A的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩。 记为RA 或rank V=r。 规定，只含零向量的向量组的秩为0。 P91 定义4.5部分内容 向量组线性无关 〈=〉 它所含向量个数等于它的秩 向量组线性相关 向量组的秩小于所含向量个数 〈=〉 问题1： 向量组线性无关，则他的秩是多少？ 问题2： 向量组线性相关，则他的秩范围是多少？ 问题3：可逆矩阵的列向量组的秩是多少？ 定理4.7 向量组 线性无关的条件是 向量组 线性相关的条件是 因此可以用矩阵的行初等变换求列向量组的秩及其极大无关组．进而，还可以用来确定向量组的相关表示。 求向量组的极大无关组 P92 定理4.8. 矩阵的初等行变换不改变矩阵的 列向量组向量间的线性关系 定理4.8 设 即A与B行等价，则A的列向量组与B的列向量组有 相同的线性关系，即方程组 与 同解。 证： A与B是行等价矩阵，即，存在可逆矩阵P使得 PA=B，从而 (1) (2) 设 是(1)的解，即 说明 也是方程(2)的解。 反之 是(2)的解，即 即u也是(1)的解，综上方程(1)(2)是同解方程 思考： 此定理的意义何在？ 例4.3.2 求向量组 的秩和一个极大无关组，并用此表示其他向量。 解 把向量按列排除矩阵，化成行最简形 显然 线性无关，且 这说明 是 的一个极大无关组， 其余向量 可由 线性表示。 根据定理4.3.2, 线性无关，并且 说明 是 的一个极大无关组。并且 解 将5个向量按列构造矩阵A，然后对A施行初等行变换： 从