第十章习题课重积分.ppt

习题课 一 基本要求 1．理解重积分的概念. 2．了解重积分的性质，明确重积分是定积分的推广. 3．掌握二重积分的计算方法（直角坐标﹑极坐标），会计算简单的三重积分（直角坐标﹑柱面坐标﹑球面坐标）. 4．会用重积分求一些几何量和物理量. 二.要点提示 1.重积分的计算 三重积分： 设 在空间有界区域 上连续， a. 直角坐标系（先一后二） 先二后一 设 在 轴上的投影区间 为 ，有界闭区域 为平行于 面的 的任 意截面，则 b.柱面坐标系 柱面坐标与直角坐标的关系如下： 体积元素为 2.二重积分的对称性 （1）如果D关于 y 轴对称，则 ，有 （3）如果D关于原点对称，则 ，有 四、重积分计算的基本方法 2 (3). 计算二重积分 7. 把积分 8 (1) .计算积分 8 (3).计算三重积分 二、重积分计算的基本技巧 1(1). 设 1(2). P182 4. 11. 在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上 , 要接上一 例1. 计算二重积分 (2) 积分域如图: 例2. 计算二重积分 例3. 计算二重积分 (2) 提示: 例4. 例5. 交换积分顺序计算 *例6. 六、重积分的应用 例7. *例8. 例9. 试计算椭球体 作业 其中D 是由曲 所围成的平面域 . 解: 其形心坐标为: 面积为: 积分区域 线 形心坐标 在第一象限部分. 解: (1) 两部分, 则 其中D 为圆域 把D 分成 作辅助线 两部分 说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号. 作辅助线 将D 分成 求抛物线 所围区域 D 的面积A . 解:如图所示 注: 则也可利用上述方法简化计算. 上可积 , 解. 积分域如图. 解: 在球坐标系下 利用洛必达法则与导数定义,得 其中 1. 几何方面 面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心 质量, 转动惯量, 质心, 引力 证明某些结论等 2. 物理方面 3. 其它方面 证明 证:左端 = 右端 = 设函数 f (x) 连续且恒大于零, 其中 (1) 讨论 F( t ) 在区间 ( 0, +∞) 内的单调性; (2) 证明 t 0 时, (2003考研) 解: (1) 因为 两边对 t 求导, 得 ? f (x) 恒大于零, (2) 问题转化为证 即证 故有 因此 t 0 时, 因 利用“先二后一”计算. 的体积 V. 解 * 四、重积分计算的基本方法 五、重积分计算的基本技巧 六、重积分的应用 第十章 重积分的 计算 及应用 一、 基本要求 二、要点提示 三、问题与思考 二重积分是定积分的推广，其计算方法是化为二次积分来计算。三重积分可以化为一个单积分和一个二重积分或三次积分来计算。 二重积分： 在直角坐标系下 若积分区域D可表示为 X-型区域: 则 （先y后x） a b 若积分区域D可表示为Y-型区域： 则(先x后y) c d 若D 不是X-型、Y- 型区域，可由重积分 的可加性来计算. 在极坐标下 （一般总是先对r 积分后对 积分）: 若D不包含极点， 0 则 D: 若D包含极点 o 则 D: 交换积分次序 可以把复杂的二次积分化为较简单的 二次积分。 一般步骤为 所给二次积分 将D表示为不等式 画出积分域 D 的新的不等式表示 新的二次积分 （2）如果D关于 x 轴对称，则 ， 有 其中 其中 （4）如果D关于直线 y＝x 对称，则 其中 同上。 答：不对。正确的是 三 问题与思考 问题2. 选择积分次序计算二重积分应该考虑哪些方面? 交换积分次序的步骤是什么? 答：两个方面，被积函数和积分区域。 步骤是： 由累次积分的积分限，还原出积分区域， 再将重积分按照新的次序化为累次积分。 问题3. 针对积分区域和被积函数的特点, 如何选取直角坐标和极坐标以计算二重积分? 如何选取直角坐标、柱面坐标和球面坐标以计算 三重积分? 答：若积分区域为圆（部分）域、扇形或扇面等， 被积函数中含有 ，则常采用极坐标计算二重积分。 * 如果积分区域为球形域或部分球域，被积函数