线性代数第六章6 南大.ppt

引例 可见，对于一般二次曲线 (二)、配方法化二次型为标准型 思考题(下面做法对吗？) 正(负)定二次型的判别 3. 得标准形为 思考并回答 (1) 二次型的标准形唯一吗？ (2) 二次型的标准形中平方项的个数与二次型的秩有何关系？与二次型矩阵的非零特征值的个数有何关系？ (3) 设CTAC = D (C可逆，D是对角阵)，D的对角元是A的特征值吗？如果C是正交矩阵又如何？ 第三节 正定二次型 本节讨论二次型的分类问题. 重点是正定二次型. 在n维的二次型中, 如果两个二次型 xTAx 和 yTBy 可以互化，即 则称这两个二次型等价。这相当于 即在n阶对称矩阵中A与B合同等价。 我们把等价的二次型分为同一类。相当于对称矩 阵的合同等价类。 什么条件决定两个二次型等价？ 我们知道, 等价的二次型有相同的秩, 也就是标准形中平方项个数相等. 但秩相等的两个二次型不一定等价. 例如 与 不可能等价. 因为不存在可逆矩阵 C 满足 因为 平方项系数只在 中取值的标准形 称为二次型的规范形。 定理 二次型必可化为规范形。 证 设二次型 f(x) = xTAx ( R(A)=r )经正交变换化为: (思考为什么一定可化为上面形式？) 再做一次可逆的线性变换 则 f 化为 思考：在可互化的二次型中最简单的是什么？在对称矩阵合同等价类中最简单的矩阵是什么？ 惯性定理 ( P196 ) 在二次型的标准形中，正项个数与负项个数 保持不变。或者说二次型的规范形是唯一。 二次型的标准形中正项个数称为二次型的 正惯性指数, 负项个数称为二次型的负惯性指数. 设二次型 f 的秩为 r , 正惯性指数为 p , 则 负惯性指为 r – p . f 的规范形为 惯性定理指出：两个二次型是否等价，被其秩 和正惯性指数唯一确定。 为正定二次型 为负定二次型 正(负)定二次型的概念 例如 定义：半正定矩阵P197 证明 充分性 故 必要性 故 定理6.3.2 第六章 二次型及其标准型 §6.3 正定二次型与正定矩阵 §6.2 化二次型为标准型 §6.1 二次型及其矩阵表示 问题的引入 在平面解析几何中， 我们知道标准方程 中 的图形为圆。 的图形为椭圆。 的图形为双曲线。 对于一般二次曲线 的图形是什么？ 取 二次曲线 引入坐标变换 代入方程左边， 消交叉项得 则原方程化为 若取 只要适当选择 作旋转变换 就可将曲线方程化为标准方程 （二次齐次式，只含平方项） 就可以判别二次曲线（1）的图形。 二次曲面也有类似的问题， 标准形式. 下面作一般讨论。 在数学、物理及力学和工程 也有类似的问题，且其变量的个数往往不止两个的二次 齐次式，也可通过适当的线性变换，化为只含平方项的 第一节 二次型及其矩阵表示 称为二次型。（1） 含有 个变量 的二次齐次多项式 定义1： （我们仅讨论实二次型） 实二次型： 为实数。 复二次型： 为复数。 例如： 都是二次型。 不是二次型。 只含有平方项的二次型 称为二次型的标准形。 例如： 都为二次型； 为二次型的标准形。 取 则 则（1）式可以表示为 令 则 其中 为对称矩阵。 二次型的矩阵表示（重点） 注 1、A一定是方阵， 2、其对角线上的元素 恰好是 的系数。 3、 的系数的一半分给 可保证 二次型 对称矩阵 A的写法： 例如：二次型 把对称矩阵 称为二次型 的矩阵 也把二次型 称为对称矩阵 的二次型 对称矩阵 的秩称为二次型 的秩 二次型 定义2： 例1 写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求 f 的秩r(f)。 解 问： 在二次型 中,如不限制 A对称, A唯一吗? 定义 只含平方项的二次型 称为二次型的标准形(或法式)。 平方项系数只在 中取值的标准形 称为二次型的规范形。 第二节 化二次型为标准形 目的： 对给定的二次型 找可逆的线性变换(坐标变换)： 代入(1)式，使之成为标准形 称上面过程为化二次型为标准形。