线性代数第四章4南大.ppt

第四章 线性方程组的解的结构 §4.4 线性方程组在几何中的应用 §4.3 非齐次线性方程组解的结构 §4.2 齐次线性方程组解的结构 §4.1 线性方程组解的存在性定理 §4.1 线性方程组解的存在性定理 在前面的章节学习中，我们已经研究的关于线性 方程组的求解和存在性问题，本章将在整理前面知识点的同时，深入研究解的性质和解的结构。 (4-1) (矩阵形式) (向量形式) (原始形式) 非齐次方程组解的存在性定理 定理4.1.1 对于非齐次方程组 (4-1) 向量 可由A的列向量组 线性表示。 定理4.1.2 设 的线性方程组 的系数行列式 Cramer法则 则方程组有唯一解,且解为: (4-2) 齐次方程组解的存在性定理 (4-3) (矩阵形式) (向量形式) (原始形式) 定理4.1.3 对于齐次方程组 (1) A的列向量组线性无关 (2) A的列向量组线性相关 推论1 当方程的个数m小于未知量的个数n，则(4-3) 必有非零解。 定理4.1.4 设 的线性方程组 有非零解 (4-4) 学习书P135 例2 第四章 线性方程组的解的结构 §4.4 线性方程组在几何中的应用 §4.3 非齐次线性方程组解的结构 §4.2 齐次线性方程组解的结构 §4.1 线性方程组解的存在性定理 §4.2 齐次线性方程组解的结构 (2) 解集的秩是多少? (3) 解集的最大无关组(又称为基础解系) 如何求? 齐次方程组 (假设有无穷多解) (1) 解集的特点? 称： 性质1：若 是(4-3)的解， 解空间: 的所有解向量的集合S，对加法和数乘 都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次 线性方程组的解空间。 性质2： 注： 如果(4-3)只有零解，解空间是零空间。 如果(4-3)有非零解，解空间是非零空间。 性质 推论1 而在解空间中，基的概念我们在这里称为基础解系。 首先回答问题(1) 设 是 的解，满足 线性无关； 的任一解都可以由 线性 是 的一个基础解系。 基础解系 表示,则称 此时齐次方程组的通解为： 设 是 矩阵，如果 则齐次线性方程组 的基础解系存在， 且每个基础解系中含有 个解向量。 定理4.2.1 推论2 设 是 矩阵，如果 则齐次线性方程组 的任意 个线性无关 的解向量均可构成基础解系。 例1 第一步:对系数矩阵 A 初等行变换化行最简形 B 从行最简形能得到什么？ 下面我们用一个例子回答第(2)和第(3)个问题， 同时也是定理4.2.1的例证。 第二步：写出同解的方程组(保留第一个未知数在方程的左边,其余的都移到右边. 右边的又叫自由变量) 自由变量的个数=? 第三步:令自由变量为任意实数 写出通解，再改写成向量形式 n – r (未知数的个数减独立方程的个数) 是解吗? 线性无关吗? 任一解都 可由 表示吗? 是基础解系吗? 基础解系所含向量的个数 = ? 第四步:写出基础解系 再来分析一下基础解系的由来: 第二步的同解方程组为 第三步的通解为 n – r (自由变量的个数) 就是 取 代入同解方程组(1)中求得 然后再拼成的解向量. 类似的…… 这就启发我们, 由于基础解系所含解向量的个数正好等于自由变量的个数(这里3个). 只要令 为三个线性无关的向量. 代入同解方程组(1)中求得 然后再拼成解向量. 必然是线性无关的, 从而也是基础解系.由此得到解法2. 第一步:同前 第二步:同前 第三步: 令 代入(1)求 再拼基础解系: 第四步:写出通解 设 ,证明 证 记 则由 说明 都是 的解 因此 移项 重要结论 推论3 且线性无关，则_______是AX=O的基础解系。 (2),(3) 则_______可为AX=O的基础解系。 (4) (1) (2) 例2 例3 求一个齐次方程组, 使它的基础解系为 记之为 AB=O ,这相当于要解矩阵方程, 习惯把未知 的 A 放在右边, 转置 ,只需解 然后再把这些解拼成 的列( A 的行)即可. 解 得基础解系 设所求的齐次方程组为 , 则 取 即可. 解 第四章 线性方程组的解的结构 §4.4 线性方程组在几何中的应用 §4.3 非齐次线性方程组解的结构 §4.2 齐次线性方程组解的结构 §4.1 线性方程组解的存在性定理 §4.3 非齐次线性方程组解的结构 以下总假设 有解, 而其对应的齐次方程组 的基础解系为 这里 性质 (1) 设 都是(1)