线性代数课件逆矩阵重点精讲.ppt

§2·5 逆矩阵 在实数运算中，若a≠0，则总能找到一个数 b,使得ab=ba=1，称b为a的逆。 【例1】 设对角矩阵 逆矩阵的运算公式： 判断题： 1、若A、B都是可逆矩阵，则A+B也是可逆矩阵。 2、若AB是可逆矩阵，则A、B也都是可逆矩阵。 3、若n阶方阵AB是不可逆矩阵，则A、B中至少有一个是不可逆矩阵。 4、若A是可逆矩阵，且AX=AY，则X=Y 定义2·15 设 是n阶方阵A的行列式 中元素 的代数余子式，称矩阵 例如 对 定理2·1 n阶方阵A可逆的充要条件是 【例2】设 ，判断A是否可逆，若可逆，求其逆。 课堂练习 设 ，判断A是否可逆，若可逆，求其逆。 推论 若A、B为同阶方阵，且AB=E,则A、B 均可逆，且 【例（补）】已知n阶方阵A满足2A(A-E)=A3, 证明E-A可逆，且 【例3】 设方阵A满足 【例4】设分块矩阵 ,其中A为k阶可逆 方阵，B为k×r阶矩阵，C为r阶可逆矩阵,O为 r×k阶矩阵。证明矩阵H可逆，并求其逆。 判断题： 1、n阶方阵A可逆的充要条件是A是非奇异的 2、若A2不可逆，则A一定不可逆 3、设A为n阶方阵，且 ，若存在B，使 AB=O成立，则有B=O。 【例（补）】设A为n 阶可逆方阵 （1）求 （2）证明A*可逆，并求其逆 补充习题： 归纳： 主要概念： 逆矩阵的运算公式： √ 因为A可逆的 A是非奇异的 √ 因为若A2不可逆，则 ，A不可逆 √ 因为若 ，则A可逆 则有A-1AB= A-1O成立 ，即B=O 解：因为A可逆，所以 （2）由 即A*可逆，且 （1）由 设方阵A满足 ,证明A-6E及 A+4E可逆，并求它们的逆。 其中 是A的行列式 中元素 的代数余子式 2、伴随矩阵：对n阶方阵A，有 1、逆矩阵：对于n阶方阵A，若存在矩阵B,使得 则称A为可逆矩阵，简称A可逆。并 称B为A的逆矩阵。 ,即 记为 伴随矩阵 * 定义2·14 对于n阶方阵A，若存在矩阵B,使得 则称A为可逆矩阵，简称A可逆。并 称B为A的逆矩阵。 定义2·14的说明： （1）逆矩阵只对方阵而言，且B与A为同阶方阵 （2）A、B互为逆矩阵。 （3）若A可逆，则其逆矩阵是唯一的 ( 因为若B、C都是A的逆矩阵，则有AB=BA=E,AC=CA=E 于是 B ,即 记为 即若 则 =BE =B(AC) =(BA)C =EC =C ） 例如 由于 =E 且 =E 所以A可逆，B为A的逆矩阵 即 同时 ，其中 证明A可逆，且 证明：因为 =E 且 =E 所以，A可逆，且 [例（补）]设方阵A满足 证明2A+E 可逆，且 故2A+E可逆，且 且 证明：因为 3、若A可逆，则 可逆，且 2、若A可逆，则 1、若A可逆，则 4、若A可逆，数 则 可逆，且 5、若A、B是同阶可逆矩阵，则AB可逆。且 3、若A可逆，则 可逆，且 证明： 且 即 故 可逆，且 4、若A可逆，数 则 可逆，且 证明： 且 即 故 可逆，且 注意：若A、B不是同阶方阵，该结论不成立 5、若A、B是同阶可逆矩阵，则AB可逆。且 证明： 且 即 故AB可逆。且 因为当 时， 但A-1和 B-1没意义 AB为n阶方阵，AB有可能可逆， √ × × （因为A、B有可能都不是方阵） √ 证明题：设方阵A满足 证明A 可逆，且 故A可逆，且 且 因为 §2·5 逆矩阵 定义2·14 对于n阶方阵A，若存在矩阵B,使得 则称A为可逆矩阵，简称A可逆。并 称B为A的逆矩阵。 ,即 记为 定义2·14的说明： （1）逆矩阵只对方阵而言，且B与A为同阶方阵 （2）A、B互为逆矩阵。 （3）若A可逆，则其逆矩阵是唯一的 即若 则 上堂课主要内容： 逆矩阵的运算公式： 3、若A可逆，则 可逆，且 2、若A可逆，则 1、若A可逆，则 4、若A可逆，数 则 可逆，且 5、若A、B是同阶可逆矩阵，则AB可逆。且 为矩阵A的伴随矩阵 元素 的代数余子式 =一个数 T n-1阶行列式 则 有 使得 且 即 0 …0 0 …0 0 0… ……… 且当A可逆时 证明 则存在 ，使