[高二数学]圆锥曲线知识点.doc

圆锥曲线知识点 （一）椭圆 1.对第一定义的理解要注意到. 第二定义：平面内一动点到一定点的距离和它到一条定直线的距离之比是小于1的正常数. 定点为焦点，定直线为准线.要注意定点不在定直线上，离心率. 对定义一定要熟练掌握，解题时，有时需把问题返回到定义上来. 示例：在边上的中线，求的重心的轨迹方程. 答案：. 2.椭圆的标准方程 ①. ②椭圆的参数方程，注意：仅限椭圆，一定要灵活应用. 示例：求椭圆的焦点坐标. 答案：. 3.焦半径公式 设点在椭圆上，则 .利用焦半径公式解题非常方便. 示例：设上一点，为两焦点，则最小值为多少？ 答案：. 4.备考技巧 椭圆上点处的切线方程； 斜率为的切线方程； 以为椭圆上任一不同与长轴顶点的点，则. 以上公式可直接应用，尤其是在选择题和填空题. 示例：已知点为椭圆上的点，且，、为焦点，求的面积. 答案：. （二）双曲线 1.对第一定义要注意到. 第二定义：平面内到定点和到定直线的距离之比等于常数的点的轨迹. 解题时，返回定义非常有必要. 示例：求与圆都外切的圆的圆心的轨迹方程. 答案：. 2.双曲线的标准方程 . 双曲线标准方程的统一形式：. 3.渐近线. 4.焦半径公式 若在双曲线上，则 .（点在右支取正号，在左支取负号）. .（点在上支取正号，在下支取负号） 在利用焦半径解题时，可以减少许多运算量，但一定要分清点位于哪一支上，否则极易出错. 示例：经过双曲线的右焦点作倾斜角为的弦，求的周长. 答案：的周长为. 5.共轭双曲线有相同的渐近线，有相同焦距长，焦点位于的圆心上；离心率关系：. 6.等轴双曲线实轴与虚轴相等，其方程为，渐近线为，离心率为. 7.有相同渐近线的双曲线方程可令：. 有相同离心率的双曲线方程可令：. 在用待定系数法求标准双曲线时很灵活，也是较常用的一个方法. 示例：已知双曲线过点，它的渐近线方程为，求双曲线的标准方程. 答案：. （三）抛物线 1.定义：在平面内到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹.注意定点不在直线上. 对于不在标准位置的抛物线的求法，只能返回定义求其方程. 示例：若抛物线的焦点，准线方程为，求此抛物线方程. 答案：. 2.抛物线方程 在解题中为了减少讨论量，可将其方程形式设为：，表示焦点在轴上；，表示焦点在轴上.然后根据的正负来确定抛物线的开口方向. 3.几何性质：以为例说明. 为抛物线上的点，则焦半径.过焦点且倾角为 ，其最短弦长为，此时，即为抛物线的通径. 示例：已知过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，弦长，求该直线的倾斜角的范围. 答案：. （四）直线与圆锥曲线的综合问题 它们的位置关系无外乎三种情况，即相切、相交、相离.具体来说： 1.相离的问题常转化为二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决. 2.只有一个公共点，对椭圆表示相切；对双曲线表示相切或与渐近线平行；对抛物线表示直线与其相切或表示与其对称轴平行. 3.有两相异的公共点，表示相割，此时直线被截线段称为圆锥曲线的弦.有求弦长、中点弦、焦点弦问题. 弦长的求法：由， 弦长. 注意：消去可得关于的二元方程有直线斜率. 示例：双曲线的中心在直线：上平移，是否存在双曲线使它截直线的弦长与截的弦长都等于？ 答案：存在，为.（同时取正或同时取负，注意要验证） 对弦中点坐标或弦中点轨迹的求法常常利用韦达定理来解决，重要的思想方法为设而不求. 示例：已知抛物线与圆，，求实数的值. 答案：. 在求焦点弦长时，灵活使用焦半径公式，能快速解答问题.此外，还有一个有关垂直平分弦的问题，解此类题也可运用到韦达定理. 示例：是否存在这样的曲线：①原点及直线分别为它的焦点和相应准线；②被直线垂直平分的弦长为. 答案：存在，为.（提示：，然后用韦达定理求解）. （五）求解圆锥曲线问题的几种措施 圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。 1. 紧扣定义，灵活解题 灵活运用定义，方法往往直接又明了。 例1. 已知点A（3，2），F（2，0），双曲线，P为双曲线上一点。 求的最小值。 解析：如图所示， 双曲线离心率为2，F为右焦点，由第二定律知即点P到准线距离。 2. 引入参数，简捷明快 参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。 例2. 求共焦点F、共准线的椭圆短轴端点的轨迹方程。 解：取如图所示的坐标系，设点F到准线的距离为p（定值），椭圆中心坐标为M（t，0）（t为参数） ，而 再设椭圆短轴端点坐标为P（x，y），则 消