[高二数学]必修五数列求和问题.ppt

5.错位相减法：设数列 是公差为d的等差数列（d不等于零），数列 是公比为q的等比数列(q不等于1），数列 满足： 则 的前n项和为： 例7、求和Sn =1+2x+3x2+……+nxn-1 (x≠0,1) [分析] 这是一个等差数列{n}与一个等比数列{xn-1}的对应相乘构成的新数列，这样的数列求和该如何求呢？ Sn =1 + 2x +3x2 + …… +nxn-1 ① xSn = x + 2x2 +……+ (n-1)xn-1 + nxn ② (1-x)Sn =1 + x + x2+ …… + xn-1 - nxn n项 这时等式的右边是一个等比数列的前n项和与一个式子的和，这样我们就可以化简求值。 错位相减法 例7、求和Sn =1+2x+3x2+ +nxn-1 (x≠0,1) 解：∵ Sn =1 + 2x +3x2 + +nxn-1 ∴xSn = x + 2x2 + + (n-1)xn-1+nxn ∴ ① -②，得： (1-x) Sn =1+x+x2+ + xn-1 - nxn ∴ Sn= 1-(1+n)xn+nxn+1 (1-x)2 1-xn 1-x = - nxn …… … …… … 练习： 求和Sn= 1/2+3/4+5/8+……+(2n-1)/2n 答案： Sn =3- 2n+3 2n 求和Sn= 1/2+3/4+5/8+……+(2n-1)/2n 直接求和（公式法） 等差、或等比数列用求和公式，常数列直接运算。 倒序相加 等差数列的求和方法 错位相减 数列{ anbn}的求和，其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列。 裂项法 分组求和法 把通项分解成几项，从而出现几个等差数列或等比数列进行求和。 常见求和方法 适用范围及方法 数列{1/f(n)g(n)}的求和，其中 f(n),g(n)是关于n的一次函数。 小结 练习 ①等差数列的前n项和公式： ②等比数列的前n项和公式 ③ ④ ⑤ 1.公式法 即直接用求和公式,求前n项和Sn 分析：通过观察，看出所求得数列实际上就是等比数列其首项为a，公比为ab，因此由题设求出a,b，再用等比数列前n项和公式求和 例1：若实数a,b满足：  求： 例2 求和：1+(1/ a)+(1/a2)+……+(1/an) 解： ∵1，1/a,1/a2……1/an是首项为1，公比为1/a的等比数列， ∴原式= 原因： 上述解法错误在于，当公比1/a=1即a=1时，前n 项和公式不再成立。 例2 求和： 1+(1/ a)+(1/a2)+……+(1/an) 在求等比数列前n项和时，要特别注意公比q是否为1。当q不确定时要对q分q=1和q≠1两种情况讨论求解。 对策： 倒序相加法在教材中是推导等差数列前n项和的方法 2.倒序相加法 例4.求下列数列的前n项和 （1） 3.分组求和法：若数列 的通项可转化为 的形式，且数列 可求出前n项和 则 解（1）：该数列的通项公式为 当a≠0且a≠1时，Sn= 规律概括：如果一个数列的通项可分成两项之和（或三项之和）则可用分组求和法：在本章我们主要遇到如下两种形式的数列.其一：通项公式为： 其二：通项公式为： 例5、Sn = + +……+ 1 1×3 1 3×5 1 (2n-1)×(2n+1) [分析]：观察数列的前几项： 1 (2n-1)×(2n+1) = （ - ） 2 1 2n-1 1 2n+1 1 这时我们就能把数列的每一项裂成两项再求和，这种方法叫什么呢？ 裂项法 1 1×3 = （ - 2 1 3 1 1 1 ） 例5、Sn = + +……+ 1 1×3 1 3×