[高等教育]第二章 方阵的行列式.ppt

§3 展开定理与行列式的计算 例4 计算行列式 另解 §3 展开定理与行列式的计算 定理3.2 设n阶方阵A=(aij), Aij为aij的代数余子式 当i ≠j时，ai1Aj1+ ai2Aj2+ … + ainAjn=0； a1iA1j+ a2iA2j + … + aniAnj =0； 证 将?A?按第j行展开，得 再用aik代换ajk, 得 ai1 ai1 ai2 ai2 ain ain 0= 同理可证列的情形. §3 展开定理与行列式的计算 例5 设4阶行列式?A?中a12=2, a22=m, a32=k, a42=3; M12=1, M22=-1, M32=1, M42=-1; A14=3, A24=1, A34=4, A44=2，且?A?=1，求m,k的值。 解 M12=1, M22=-1, M32=1, M42=-1，知 A12=-1, A22=-1, A32=-1, A42=-1， 由定理3.1和定理3.2得 解之得m=4,k=-2. §3 展开定理与行列式的计算 2. Laplace(拉普拉斯)定理 先介绍两个概念 定义3.2 设D是一个n阶行列式，在D中取某k个行 及某k个列(1≤k≤n)，由这些行与列相交处的元素构 成一个k阶行列式，叫做D的一个k阶子式。 定义3.3 设D是一个n阶行列式，N是D的某个k阶 子式，在D中划去N所在的行及所在的列后，剩下 的n-k阶子式M，称为子式N的余子式。若N所在行 的序数是i1, i2, …, ik，所在列的序数是j1, j2,…, jk， 叫做N的代数余子式。 §3 展开定理与行列式的计算 例 设 则 §3 展开定理与行列式的计算 例 设 则 §3 展开定理与行列式的计算 定理3.3 (Laplace拉普拉斯) 设D是一个n阶行列 式，在D中取定某k个行(1 ≤k≤n-1)，则含于此k行 的所有k阶子式与其代数余子式的乘积之和等于D. 注1. 此定理通常说成行列式按某k行展开；同理 行列式也可按某k列展开. 2. 定理3.1是Laplace定理的特例. 3. n阶行列式D中取定某k个行，含于此k行的所有 k阶子式共有 所以只有这些子式大部分为0 时，应用定理才方便. 4.第一节例4是Laplace定理的特例，即 §1 n阶行列式的定义 推论 §3 展开定理与行列式的计算 例7 计算行列式 解 取定2,5列展开 §3 展开定理与行列式的计算 例8 计算 解： §3 展开定理与行列式的计算 本节学习要求 掌握行列式按一行(列)展开定理，熟练它去计算行列式的值，理解 Laplace定理，会用它对行列式作简便计算。 作业：习题2.3(A) 第1(1),2(3)题 习题2.3(B) 第1(2),2(1)题 * * §2 n阶行列式的性质 例 推论 行列式的某一行(列)的元素全为零，则行列 式的值为零. 证 设行列式的第i行(列)的元素全为零，因行列 式的均布项都含第i行(列)的元素，故其值为零. §2 n阶行列式的性质 性质2.3 即 或 §1 n阶行列式的定义 证 第一式 再由性质2得第二式. 推论2.1 行列式的某一行(列)的公因子可提到行 列式的外面. §2 n阶行列式的性质 性质2.4 即 ←第j行 ←第i行 §2 n阶行列式的性质 或 §1 n阶行列式的定义 证 第一式 再由性质2得第二式. §2 n阶行列式的性质 例 推论2.2 行列式有两行(列)相同，则行列式的值 为零。 证 设行列式D的第i行(列)与第j行(列)相同，则 §2 n阶行列式的性质 例 推论2.3 行列式有两行(列)对应元素成比例，则 行列式的值为零。 证 设n阶方阵A的第i行与第j行对应元素成比例， 即 ajs=kais (s=1,2, …,n)，若k=0,结论成立，若k ≠ 0, 则B的第i行(列)与第j行(列)相同， (由性质2.2知列的情形也成立) §2 n阶行列式的性质 例 =0 -2r1+r2 §2 n阶行列式的性质 性质2.5 即 §2 n阶行列式的性质 或 证 由性质2.1及推论2.3得到. §2 n阶行列式的性质 例1 §2 n阶行列式的性质 例2 §2 n阶行列式的性质 例3 计算行列式 解 §2 n阶行列式的性质 2.方阵行列式的性质 定理2.1 设A,B为n阶方阵，?为