[高等教育]高等数学电子教案同济版第四章4-2.ppt

一、第一类换元法 二、第二类换元法 三、小结 例22 求 解 令 （分母的阶较高） 说明(5) 当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的最小公倍数） 例23 求 解 令 * 问题 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程 令 在一般情况下： 设 则 如果 （可微） 由此可得换元法定理 即 第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将 化为 观察重点不同，所得结论不同. 定理1 化为 例1 求 解（一） 解（二） 解（三） 例2 求 解 一般地 例3 求 解 例4 求 解 例5 求 解 例6 求 解 例7 求 解 例8 求 解 例9 求 原式 例10 求 解 例11 求 解 说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分. 例12 求 解 例13 求 解（一） （使用了三角函数恒等变形） 类似地可推出 解（二） 解 例14 设 求 . 令 例15 求 解 问题 解决方法 改变中间变量的设置方法. 过程 令 （应用“凑微分”即可求出结果） 证 设 为 的原函数, 令 则 则有换元公式 定理2 第二类积分换元公式 例16 求 解 令 例17 求 解 令 例18 求 解 令 说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下：当被积函数中含有 可令 可令 可令 说明(2) 积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换. 也可以化掉根式 例 中, 令 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定. 说明(3) 例19 求 （三角代换很繁琐） 令 解 例20 求 解 令 说明(4) 当分母的阶较高时, 可采用倒代换 例21 求 令 解 * * * *