[工程科技]D12_4_1傅立叶级数.pdf

第四节 第十二章 一、傅里叶级数 一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、三角级数及三角函数系的正交性 简单的周期运动 : y = A sin(w t +j )  (谐波函数)  (A为振幅, w为角频率, φ为初相 )  • 复杂的周期运动 : y = A  + Â A  sin( n w t +j )  0  n  n  n = 1  (谐波迭加)  A  sinj  cos n w t + A  cos j sin n w t  n n  n  n  a0  令  = A , a = A  sin j , b = A  cos j ,  w t= x  0  n  n  n  n  n  n  2  • a 0  得函数项级数  + Â ( a  cos n x + b  sin n x )  2  n  n  k=1  称上述形式的级数为三角级数.  机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理 1. 组成三角级数的函数系  1 , cosx , sinx , cos 2 x , sin 2 x , L, cos nx , sinnx , L  正交 ,  在 [-p , p ] 上 即其中任意两个不同的函数之积在  [-p , p ] 上的积分等于 0 .  证: Ú p 1 cosnxd x = Ú p 1  sin nxd x = 0 ( n= 1 , 2 , L)  -p  -p  p Ú-p cosk x cos n x d x  1 [ ]  cos k x cos n x =  cos ( k + n ) x + cos ( k - n ) x  2  1 p [ ]  = 2 Ú-p cos( k + n ) x + cos( k - n ) x  d x = 0 ( k  n )  p 同理可证 :  Ú-p  sinkx sin n x d x = 0  ( k n )  p Ú- p cosk