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第九章 静电场 物理学教程 （第二版） 9 –5– 6 环路定理 电势能 电 势 一、电场力的功 1.点电荷的场 在 q 的电场中将检验电荷 q0 从 a 点移动到 b 点，电场力作功为： 点电荷的场 电场力的功只与始末位置有关，而与路径无关，电场力为保守力，静电场为保守场。 二、环路定理 1.定理表述 静电场中电场强度沿闭合路径的线积分等于零。 此结论可推广到任意带电体系 2.定理证明 移动电荷 q0 沿闭合路径一周电场力作功： 证毕 电场力移动单位电荷沿闭合路径一周所作的功为 0。 3.由环路定理可证明电场的一重要性质——电力线为非闭合曲线 反证法：假设电力线为闭合曲线，沿电力线一周移动单位正电荷 作功： 与环路定理矛盾，电力线为非闭合曲线。 三、电势能、电势、电势差 电场力是保守力，可引入势能的概念。 引力是保守力，作功为 取无穷远为零势能点，则引力势能为： 电场力作功 1.电势能Ep 定义： 单位：焦耳，J 电场力作功等于势能增量的负值。 为点电荷电势能（选无穷远为零势能点） 2.电势U 两边同除以q0： 电势定义： 单位：伏特，U 点电荷的电势 3.电势差Uab 电势差 Uab 为电场力移动单位正电荷从 a 点到 b 点所作的功。 电场力的功等于电势差与检验电荷电量的乘积。 四、注意几点 1.电势是标量，只有正负之分。 2. 电势 0 点的选取（有限带电体）： 选参考点 b 为 0 电势点 则 对有限带电体一般选无穷远为电势 0 点。 电势为电场力移动单位正电荷从场点到无穷远所作的功。 对无限带电体不宜选无穷远为电势 0 点。 3.点电荷系空间某点的电势为各电荷在该点产生电势的代数和。 4.正电荷的场中各点电势为正。 负电荷的场中各点电势为负。 5.电势能与电势的区别 WP 可正可负，取决于 q 和 q0 ； U只取决于场源电荷 q 。 6.正电荷沿电力线移动，从高电势到低电势，电势能降低，电场力作功。 负电荷沿电力线移动，从高电势到低电势，电势能升高，电场力做负功。 五、电势的计算方法 1.由点电荷电势 求点电荷系电势 2.代数积分法 —— 连续带电体 将带电体分割成无限多个电荷元， 3.场强的线积分法—具有高度对称性的场 由 注意分区域积分 例1：在正方形四个顶点上各放置 +q、+q、-q、-q 四个电荷，求正方形中心 o 点的电势 U。 解：由 第一类问题：点电荷系电势的计算。 课堂练习：已知正方形顶点有四个等量的电点荷 r=5cm ③求该过程中电势能的改变 ①求 ②将 从 电场力所作的功 电势能 例2：均匀带电圆环，半径为 R，带电为 q，求圆环轴线上一点的电势 U。 解：将圆环分割成无限多个电荷元： 环上各点到轴线等距。 第二类问题：代数积分法—连续带电体。 例 一半径为R的均匀带电圆环，电荷线密度为l． 设无穷远处为电势零点，则圆环中心O点的电势U＝___________． 标量叠加 l / (2e0) 答案: 思路: (本题选自静电场练习三) 例3：均匀带电圆盘，半径为 R，带电为 q，求圆盘轴线上一点的电势 U。 解：将圆盘分割成无限多个同心圆环， 电荷面密度 由上题结论 讨论：当 x R 时，级数展开 带电体距场点很远时，可视为点电荷。 例4：均匀带电球壳半径为 R，电量为 q，求：球壳内、外的电势分布。 高斯面 解：球壳内、外的场强 作高斯球面 第三类问题：场强线积分法——具有高度对称的场。 I区：球面内 II区：球面外 I II 高斯面 I区：球壳内电势 选无穷远为电势0点， 高斯面 I II II区：球壳外电势 选无穷远为电势 0 点， 高斯面 I II 第九章 静电场 物理学教程 （第二版） 9 –5– 6 环路定理 电势能 电 势