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* * 第七章 离散时间系统的时域分析 §7.1采样信号和采样定理 模拟信号的数字处理，要求模拟信号在离散化的过程中不能丢失信息，即应能从采样信号恢复原来的连续信号，这要求采样频率满足一定的条件，信号本身也满足一定的条件。 一、采样信号及其频谱 所谓采样就是让连续信号通过一抽样器(开关)，使抽样的输出是原连续信号某些离散点上的值，用以简化的示意图描述如下： 电子开关每隔时间T接通一次，接通时间为?，输出一系列脉冲，脉冲串的包络与连续信号的波形相同，用数学表达式描述为： 其中s(t)为一开关函数，fs(t)叫做采样信号或抽样信号。 当开关函数s(t)的脉宽?很小时，s(t)就可近似看成是一个冲激序列，每个冲激的强度即是脉冲下的面积?。若引进单位冲激序列 则开关函数为 离散信号为 其频域对应关系为 由于?是无穷小量，考虑 其中：F 叫作抽样角频率， 为理想抽样信号的频谱。 相对应的理想抽样信号为 ?从上面可以看出，理想抽样信号的频谱在横轴上是原来连续信号频谱的周期延拓，周期大小为抽样角频率?s，在纵轴上压缩为原来的1/T倍，其最大特点是周期性。 ?与矩形脉冲序列相乘的抽样叫矩形脉冲抽样，也叫自然抽样；与冲激序列相乘的抽样叫冲激抽样。 二、采样定理 抽样定理：设x(t)是某一带限信号，在????m时，x(?)=0，如果?S2?m，其中?S＝2?/T，那么x(t)就唯一地由其样本x(nT), n=0,?1, ?2,…所确定。这里，两倍信号所含的最高频率2fm，是最小的抽样频率，称之为奈奎斯特抽样频率，或称香农抽样频率；其倒数称为奈奎斯特抽样间隔，或香农抽样间隔。 均匀抽样定理：一个在频谱中不包含有大于频率fm的分量的有限带宽的信号，由对该信号以不大于1/2 fm的时间间隔进行抽样的抽样值唯一地确定。当这样的抽样信号通过其截至频率?c满足条件?m? ?c ? ?S－ ?m的理想低通滤波器后，可以将原信号完全重建，这个定理也称为香农抽样定理。 ?抽样定理中要求信号是带限的，因此在A/D转换前加一保护滤波器，以免在抽样过程中产生混迭现象。 ?用低通滤波器恢复原信号，而低通滤波器是不可实现的，因此，实际采用的方法是提高采样率，或提高滤波器的阶数。 零阶保持抽样：在一个已知的抽样瞬间对x(t)抽样，并保持这一样本值直到下一个抽样瞬时为止。 三、信号重建 为了由x0(t)重建x(t)，用一个冲激响应为hr(t)，频率响应为Hr(?)的LTI系统来处理x0(t)，以使r(t)=x(t)。如果h0(t)与hr(t)级联后的特性是一个理想低通滤波器的特性，那么，即可重建x(t)。 内插是一个常用的由样本值来重建某一函数的过程，零阶保持是一种简单的内插过程，另一种是线性内插，即把相邻的样本点用直线连接起来，线性内差又称为一阶保持。 r(t) x(t) p(t) h0(t) hr(t) Hr(?) x0(t) 输出r(t)为 上式代表了一种内差公式。 ?带限内差：理想低通滤波器的h(t)为 所以 ?线性内差：用三角形特性的h(t)恢复x(t) 三、频率抽样 x(?) 在时域中有 其中： 于是 如果x(t)是时限的且 ，上式给出的 就由互不重叠、周期重复的x(t)所组成，此时原始信号x(t)就能够用一个低时窗过滤 来予以重建；否则会出现时域混迭。 同样，从 恢复x(t)的低时窗可以看作是X(?)的频域样本的内差。由于 则 §7.2离散时间系统的描述和模拟 一、离散时间信号和离散时间系统 离散信号是一个数值序列，其特点是每个数值在序列中的位置、抽样间隔是无关紧要的参数。离散信号通常表示为 或 K表示序号，x(K)表示序号为K时的函数值（序列值），也简化表示为x(K)和y(K) 。 序列的运算为： 同序号的数值逐项对应相加减 同序号的数值逐项对应相乘 原序列x(K)逐项依次延时j位 原序列x(K)逐项依次向前移j位 序列能量定义为： 常见的离散时间信号： 1.单位脉冲信号（单位样值信号） 2.单位阶跃序列 3.指数序列 收敛； 发散。 4.矩形序列 5.正弦序列 ?0是正弦序列的频率，它反映序列值依 次周期性重复的频率。当 为整数时，该值是正弦序列的周期；为有理值时，该正弦序列仍是周期的，只不过周期增大；为无理数时，该序列不是周期的，但仍以?0为正弦序列的频率。 离散时间系统： 通常表示为 线性移不变离散系统： 1.线性： 2.移不变性： 3.线性移不变性： 离散 e(k) y(k) 二、离散时间系统的数学模型 描述离散