[教育]方程模型1.ppt

2005,8,2 微分方程模型 人口增长问题-----精确解 生物种群模型-----定性分析 人口模型的应用-------参数估计 图2 美国人口指数模型(1790~2000),’*’为原数据,实线为拟合值 程序如下 %美国人口模型,指数增长模型 N=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,... 92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4]; n=12; NN=N(1:n);%1790年到1900年数据 t=[ones(n,1),(1:n)]; y=log(NN(1:n)); [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,t); RR=stats(1);%复相关系数 F=stats(2);%F统计量值 prob=stats(3); % 概率 N0=exp(b(1)); %参数x0; r=b(2); %参数r py=N0*exp(r*t(:,2)); %预测数据 err=NN-py; rmse=sqrt(sum(err.^2)/n); %均方误差根 plot(1:n,NN,*,1:n,py); %作对比图 2.45 3.08 3.01 2.91 2.97 2.99 3.10 2.95 增长率% 1860 1850 1840 1830 1820 1810 1800 1790 年 1.04 1.02 1.46 1.66 1.91 2.05 2.42 2.44 增长率% 1940 1930 1920 1910 1900 1890 1880 1870 年 1.16 1.09 1.05 1.16 1.49 1.58 增长率% 2000 1990 1980 1970 1960 1950 年 找原因 增长率并不是常数！与人口数有关。 且随人口数量的增加而减少。 观察相对增长率的变化 假设人口相对增长率随人口的增加而线性减少。 三 建立新的预测模型 Logisitic模型 参数估计 用1790年至2000年的数据回归，得 均方误差根为 结果图见图3 (效果好) 图3 美国人口阻滞型模型(1790~2000),’*’为原数据,实线为拟合值 * * 主讲人 武海辉 微分方程模型： 联系某些变量变化率或导数的关系式。 求解微分方程有三种方法： 1）求精确解； 2）求数值解（近似解）； 3）定性理论方法。 微分方程模型反映的是变量之间的间接关系。 建立微分方程模型的方法 （1）根据规律列方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。 （2）微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。 （3）模拟近似法 在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。 游泳馆的人们 报考美院的学生 教室里的学生 股市的股民 问题的提出 人口、工业化的资金、粮食、不可再生资源、环境污染 是人类在地球上生存所面临的五大问题，而人口问题是这五 大问题之首。 人口在不断的增长， 其增长有无规律可循？ 目标：预测人口发展趋势；控制人口增长。 建模准备 资料报告，公元前世界人口已接近3亿（粗略估计）。 近一千年人口统计比较精细。看下图。 1800 10 人口（亿） 年 1930 20 1960 30 1974 40 1987 50 1999 60 2050 93 来源：新华社 2003年2月28日 我国人满为患的情况更令人担忧。据资料记载： 1760 2 人口（亿） 年 1900 4 1953 6 1974 计划生育 9.2 1990 11.6 2005 13 联合国从1988年起，把7月11日定为世界人口日。 1989 11 1995 12 1800 10 人口（亿） 年 1930 20 1960 30 1974 40 1987 50 1999 60 2050 93 三 建立模型 1 简单模型 要预报未来若干年的人口数，两个重要因素： 当前的人口数 ，今后这些年的增长率（出生率-死亡率） 一年后，人数增加到 k 年后，人口数为 若想知道任何时刻的人口数，怎么办？ 对时间连续化！ 两年